课时作业4函数的单调性与最值一、选择题1．(2014·北京卷)下列函数中，定义域是R且为增函数的是()A．y＝e－xB．y＝x3C．y＝lnxD．y＝|x|解析：分别画出四个函数的图象，如图：因为对数函数y＝lnx的定义域不是R，故首先排除选项C；因为指数函数y＝e－x，即y＝x，在定义域内单调递减，故排除选项A；对于函数y＝|x|，当x∈(－∞，0)时，函数变为y＝－x，在其定义域内单调递减，因此排除选项D；而函数y＝x3在定义域R上为增函数．故选B.答案：B2．(2015·宁夏月考)下列函数中，在(－1,1)内有零点且单调递增的是()A．y＝logxB．y＝2x－1C．y＝x2－D．y＝－x3解析：观察四个选项，在(－1,1)内单调递增的只有函数y＝2x－1且其在(－1,1)内也有零点．故选B.答案：B3．函数f(x)＝ln(4＋3x－x2)的单调递减区间是()A.B.C.D.解析：函数f(x)的定义域是(－1,4)，u(x)＝－x2＋3x＋4＝－2＋的减区间为， e＞1，∴函数f(x)的单调减区间为.答案：D4．函数f(x)(x∈R)的图象如下图所示，则函数g(x)＝f(logax)(0＜a＜1)的单调减区间是()1A.B．(－∞，0)∪C．[，1]D．[，]解析：y＝logax(0＜a＜1)为减函数，根据复合函数的单调性及图象知，当0≤logax≤，即≤x≤1时，g(x)为减函数，故其单调减区间为[，1]．答案：C5．已知函数f(x)＝若f(x)在(－∞，＋∞)上单调递增，则实数a的取值范围为()A．(1,2)B．(2,3)C．(2,3]D．(2，＋∞)解析：要保证函数f(x)在(－∞，＋∞)上单调递增，则首先分段函数应该在各自定义域内分别单调递增．若f(x)＝(a－2)x－1在区间(－∞，1]上单调递增，则a－2＞0，即a＞2.若f(x)＝logax在区间(1，＋∞)上单调递增，则a＞1.另外，要保证函数f(x)在(－∞，＋∞)上单调递增还必须满足(a－2)×1－1≤loga1＝0，即a≤3.故实数a的取值范围为2＜a≤3.答案：C6．(2014·安徽卷)若函数f(x)＝|x＋1|＋|2x＋a|的最小值为3，则实数a的值为()A．5或8B．－1或5C．－1或－4D．－4或8解析：当a≥2时，f(x)＝则f(x)的图象如图1所示，故当x＝－时，f(x)min＝f＝－1＝3，解得a＝8；2图1图2当a＜2时，f(x)＝则f(x)的图象如图2所示，故当x＝－时，f(x)min＝f＝－＋1＝3，解得a＝－4；综上可知，答案为D.答案：D二、填空题7．已知y＝f(x)是定义在(－2,2)上的增函数，若f(m－1)＜f(1－2m)，则m的取值范围是______．解析：依题意，原不等式等价于⇒⇒－＜m＜.答案：8．已知下列四个命题：①若f(x)为减函数，则－f(x)为增函数；②若f(x)为增函数，则函数g(x)＝在其定义域内为减函数；③若f(x)与g(x)均为(a，b)上的增函数，则f(x)·g(x)也是区间(a，b)上的增函数；④若f(x)与g(x)在(a，b)上分别是递增与递减函数，且g(x)≠0，则在(a，b)上是递增函数．其中正确命题的序号是__________．解析：①正确；②不正确，可用y＝x(x≠0)说明，若f(x)恒大于零(或若f(x)恒小于零)，则命题②成立；③不正确，可用y＝x(x＞0)与y＝－(x＞0)说明；3④不正确，可用y＝x(x＞0)与y＝－x(x＞0)说明．答案：①9．已知函数f(x)＝若f(6－a2)＞f(5a)，则实数a的取值范围是__________．解析：当x≤2时，f1(x)＝－x2＋4x－10是单调递增函数；当x＞2时，f2(x)＝log3(x－1)－6也是单调递增函数，且f1(2)＝－22＋4×2－10＝－6，f2(2)＝log3(2－1)－6＝－6，即f1(2)＝f2(2)，因此f(x)在R上单调递增，又因为f(6－a2)＞f(5a)，所以6－a2＞5a，解得－6＜a＜1.答案：－6＜a＜1三、解答题10．(2015·江西师大附中测试)已知函数y＝＋lg(3－4x＋x2)的定义域为M，(1)求M；(2)当x∈M时，求f(x)＝a·2x＋2＋3×4x(a＞－3)的最小值．解析：(1)依题意，有解得M＝[－1,1)．(2) f(x)＝a·2x＋2＋3×4x＝32－a2，又≤2x＜2，a＞－3，∴－＜2.若－≤，即a≥－时，f(x)min＝f(－1)＝2a＋，若＜－＜2，即－3＜a＜－时，则2x＝－a，即x＝log2时，f(x)min＝－a2.11．已知函数f(x)＝a·2x＋b·3x，其中常数a，b满足ab≠0.(1)若ab＞0，判断函数f(x)的单调性；(2)若ab＜0，求f(x＋1)＞f(x)时x的取值范围．解析：(1)当a＞0，b＞0时，任意x1，x2∈R，令x1＜x2，则f(x1)－f(x2)＝a(2x1－2x2)＋b(3x1－3x2)， 2x1＜2x2，a＞0⇒a(2x1－2x2)＜0，3x1＜3x2，b＞0⇒b(3x1...
