第3节平面向量的数量积及平面向量的应用【选题明细表】知识点、方法题号平面向量的数量积2,4,12平面向量的夹角与垂直1,7,8平面向量的模3,8平面向量数量积的综合问题6,9,10,11平面向量与其他知识的交汇5,13,14基础对点练(时间:30分钟)1.(2016内江模拟)已知向量a=(1,-2),b=(x,2),若a⊥b,则|b|等于(B)(A)(B)2(C)5(D)20解析:由题意可得a·b=(1,-2)·(x,2)=x-4=0,解得x=4.故|b|==2.2.(2015开封二模)若向量a=(1,2),b=(-3,4),则(a·b)·(a+b)等于(B)(A)20(B)(-10,30)(C)54(D)(-8,24)解析:因为a·b=1×(-3)+2×4=5,a+b=(1,2)+(-3,4)=(-2,6),所以(a·b)·(a+b)=5(-2,6)=(-10,30).3.(2015衡阳县校级一模)设向量a,b,满足|a|=|b|=1,a·b=-,则|a+2b|等于(B)(A)(B)(C)(D)解析:因为向量a,b满足|a|=|b|=1,a·b=-,所以|a+2b|2=a2+4a·b+4b2=1-2+4=3,所以|a+2b|=.4.(2016日照模拟)如图,在△ABC中,AB=BC=4,∠ABC=30°,AD是边BC′上的高,则·的值等于(B)(A)0(B)4(C)8(D)-4解析:因为AB=BC=4,∠ABC=30°,AD是边BC上的高,所以AD=4sin30°=2.所以·=·(+)=·+·=·=2×4×=4.5.(2016遵义校级期末)在△ABC中,a,b,c分别为三个内角A,B,C所对的边,设向量m=(b-c,c-a),n=(b,c+a),若m⊥n,则角A的大小为(B)(A)(B)(C)(D)解析:因为m⊥n,所以m·n=b(b-c)+(c+a)(c-a)=0,化为b2-bc+c2-a2=0,即b2+c2-a2=bc.所以cosA===.因为A∈(0,π),所以A=.6.(2016桂林校级模拟)△ABC中,∠BAC=120°,AB=2,AC=1,D是边BC上的一点(包括端点),则·的取值范围是(D)(A)[1,2](B)[0,1](C)[0,2](D)[-5,2]解析:因为D是边BC上的一点(包括端点),所以可设=λ+(1-λ)(0≤λ≤1).因为∠BAC=120°,AB=2,AC=1,所以·=2×1×cos120°=-1.所以·=[λ+(1-λ)]·(-)=(2λ-1)·-λ+(1-λ)=-(2λ-1)-4λ+1-λ=-7λ+2.因为0≤λ≤1,所以-7λ+2∈[-5,2].所以·的取值范围是[-5,2].7.(2016武汉华中师范大学第一附属中学高三期中)已知a与b的夹角为120°,若(a+b)⊥(a-2b),且|a|=2,则b在a方向上的投影为.解析:因为向量a与b的夹角为120°,则b在a方向上的投影为|b|cos120°=-|b|,因为(a+b)⊥(a-2b)(a+b)⇔·(a-2b)=02|b|⇔2-|b|-4=0,所以|b|=,则b在a方向上的投影为-.答案:-8.(2015海淀区模拟)已知向量a,b满足|a|=1,|b|=6,a·(b-a)=2,则a与b的夹角θ为;|2a-b|=.解析:因为|a|=1,|b|=6,a·(b-a)=2,所以a·b-a2=2,所以1×6cosθ-1=2,所以cosθ=,因为0≤θ≤π,所以θ=,|2a-b|====2.答案:29.已知平面向量a=(1,x),b=(2x+3,-x)(x∈R).(1)若a⊥b,求x的值;(2)若a∥b,求|a-b|.解:(1)由a⊥b,得a·b=0,故2x+3-x2=0,解得x=-1或x=3.(2)a-b=(-2x-2,2x),因为a∥b,所以x(2x+3)+x=0,解得x=0或x=-2.当x=0时,a-b=(-2,0),|a-b|==2.当x=-2时,a-b=(2,-4),|a-b|==2.综上,|a-b|为2或2.10.已知|a|=4,|b|=3,(2a-3b)·(2a+b)=61,(1)求a与b的夹角θ;(2)求|a+b|;(3)若=a,=b,求△ABC的面积.解:(1)因为(2a-3b)·(2a+b)=61,所以4|a|2-4a·b-3|b|2=61.又|a|=4,|b|=3,所以64-4a·b-27=61,所以a·b=-6.所以cosθ===-.又0≤θ≤π,所以θ=.(2)|a+b|2=(a+b)2=|a|2+2a·b+|b|2=42+2×(-6)+32=13,所以|a+b|=.(3)因为与的夹角θ=,所以∠ABC=π-=.又||=|a|=4,||=|b|=3,所以S△ABC=||||sin∠ABC=×4×3×=3.能力提升练(时间:15分钟)11.(2016保定模拟)设向量a,b满足|a|=|b|=|a+b|=1,则|a-tb|(t∈R)的最小值为(D)(A)2(B)(C)1(D)解析:设向量a,b的夹角为θ,因为|a|=|b|=|a+b|=1,所以a2+2a·b+b2=1+1+2×1×1×cosθ=1,解得cosθ=-,所以θ=,所以|a-tb|2=a2-2ta·b+t2b2=t2+t+1=（t+）2+,当t=-时,上式取到最小值,所以|a-tb|的最小值为.12.(2016重庆巴蜀中学高三月考)由点P向圆x2+y2=2引两条切线PA,PB,A,B是切点,则·的最小值是(D)(A)6-4(B)3-2(C)2-3(D)4-6解析:根据题意,作出示意图,如图所示,设|PA|=|PB|=x(x>0),∠APO=α,则∠APB=2α,|PO|==,所以sinα==,cos∠APB=cos2α=1-2sin2α=,所以·=||·||cos2α=x2·=(2+x2)+-6≥2-6=4-6,当且仅当2+x2=,即x=时等号成立,故选D.13.(2015高考广东卷)在平面直角坐标系xOy中,已知向量m=(,-),n=(sinx,cosx),x∈.(1)若m⊥n,求tanx的值;(2)若m与n的夹角为,求x的值.解:(1)因为m⊥n,所以m·...
