高考数学复习专题 数列与函数VIP专享VIP免费

高考数学复习专题数列与函数数列是一个特殊的函数()nafn，因此数列与函数之间有着密切的关系，本专题就数列与函数的整合加以简单评述，在学习过程中体会其融合的方法特点。1、高考例题题目1.（2005年高考辽宁卷）已知函数).1(13)(xxxxf设数列na{}满足)(,111nnafaa，数列nb{}满足).(|,3|*21NnbbbSabnnnn（Ⅰ）用数学归纳法证明12)13(nnnb；（Ⅱ）证明.332nS【命题意图】本小题主要考查函数、数列、等比数列、不等式等基本知识，考查运用数学归纳法解决有关问题的能力【规律总结】题中给出的函数是一个有表达式的函数，因此)(,111nnafaa相当于告诉我们了数列na{}的递推关系。【解法指导】用数学归纳法证明时，关键在于从n=k到n=k+1，即kb与1kb的关系因此根据|3|nnba及1()nnafa，可以转化为只含na的式子。【标准答案】（Ⅰ）证明：当.1121)(,0xxfx时因为a1=1，所以*).(1Nnan下面用数学归纳法证明不等式.2)13(1nnnb（1）当n=1时，b1=13，不等式成立，（2）假设当n=k时，不等式成立，即.2)13(1kkkb那么kkkkaaab1|3|)13(|3|11用心爱心专心教育是我们一生的事业.2)13(2131kkkb所以，当n=k+1时，不等也成立。根据（1）和（2），可知不等式对任意n∈N*都成立。（Ⅱ）略。题目2:（2004年高考理科数学天津卷）已知定义在R上的函数)(xf和数列}{na满足下列条件：1211),...,4,3,2)((,aanafaaann，)...,4,3,2)(()()(11naakafafnnnn，其中a为常数，k为非零常数。（1）令nnnaab1*)(Nn，证明数列}{nb是等比数列；（2）求数列}{na的通项公式；【命题意图】本小题主要考查函数、数列、等比数列和极限等概念，考查灵活应用数学知识分析问题和解决问题的能力。【规律总结】题中所给的函数为一个抽象函数，我们在利用该函数时要紧紧围绕题目中所给的1()nnafa和11()()()nnnnfafakaa来进行。【解法指导】（1）中因nnnaab1，所以利用1nnbb可以用有关na的项进行表示，从而利用题中所给的两抽象函数的关系求解。（2）中通过nnnaab1，利用叠加法便可求解数列}{na的通项公式【标准答案】（1）证明：由0121aab，可得0)()()(1212232aakafafaab。由数学归纳法可证01nnnaab*)(Nn，由题设条件，当2n时111nnnnnnaaaabb11)()(nnnnaaafafkaaaaknnnn11)(因此，数列}{nb是一个公比为k的等比数列。（2）解：由（1）知，*))((12111nnaakbkbnnn当1k时，)2(11)(...112121nkkaabbbnn当1k时，))(1(...12121aanbbbn)2(n。用心爱心专心教育是我们一生的事业而112312121)(...)()(...aaaaaaaabbbnnnn)2(n所以，当1k时，kkaaaann11)(1121)2(n。上式对1n也成立。所以，数列}{na的通项公式为*)(11))((1Nnkkaafaann2、经典例题例1.（2004年高考理科数学全国卷III）已知函数0)(),sin(cos)(xfxxexfx将满足的所有正数x从小到大排成数列}.{nx（1）证明数列{}{nxf}为等比数列；（2）记nS是数列{}{nnxfx}的前n项和，求.lim21nSSSnn【命题意图】本小题主要考查函数的导数，三角函数的性质，等差数列与等比数列的概念和性质，以及综合运用的能力.【规律总结】证明等比数列的基本方法为等比数列的概念，因此我们在证明时要紧扣概念，将}.{nx看作是一列数而已。【解法指导】首先应该利用导数将()0fx的根排列，找到数列}.{nx，然后将}.{nx看作是}{nxf的自变量代入函数从而求解}{nxf的表达式，然后即可证明。（2）问中我们求和一般的方法有分组、裂想和错位相减。【标准答案】（1）证明：.sin2)cossin()sin(cos)(xexxexxexfxxx由,0)(xf得.0sin2xex解出nnx,为整数，从而,3,2,1,nnxn.)1()(nnnexf.)()(1exfxfnn所以数列)}({nxf是公比eq的等比数列，且首项.)(1qxf（2）解：...