第十一节导数在研究函数中的应用【最新考纲】1.了解函数的单调性与导数的关系；能利用导数研究函数的单调性；会求函数的单调区间(其中多项式函数不超过三次).2.了解函数在某点取得极值的必要条件和充分条件；会用导数求函数的极大值、极小值(其中多项式函数不超过三次)；会求闭区间上函数的最大值、最小值(其中多项式函数不超过三次)．1．函数的导数与单调性的关系函数y＝f(x)在某个区间内可导，则(1)若f′(x)>0，则f(x)在这个区间内单调递增；(2)若f′(x)<0，则f(x)在这个区间内单调递减；(3)若f′(x)＝0，则f(x)在这个区间内是常数函数．2．函数的极值与导数(1)函数的极小值与极小值点若函数f(x)在点x＝a处的函数值f(a)比它在点x＝a附近其他点的函数值都小，且f′(a)＝0，而且在x＝a附近的左侧f′(x)<0，右侧f′(x)>0，则a点叫函数的极小值点，f(a)叫函数的极小值．(2)函数的极大值与极大值点若函数f(x)在点x＝b处的函数值f(b)比它在点x＝b附近其他点的函数值都大，且f′(b)＝0，而且在x＝b附近的左侧f′(x)>0，右侧f′(x)<0，则b点叫函数的极大值点，f(b)叫函数的极大值，极大值和极小值统称为极值．3．函数的最值与导数(1)函数f(x)在[a，b]上有最值的条件如果在区间[a，b]上函数y＝f(x)的图象是一条连续不断的曲线，那么它必有最大值和最小值．(2)求y＝f(x)在[a，b]上的最大(小)值的步骤①求函数y＝f(x)在(a，b)内的极值．②将函数y＝f(x)的各极值与端点处的函数值f(a)，f(b)比较，其中最大的一个是最大值，最小的一个是最小值．1．(质疑夯基)判断下列结论的正误．(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)函数f(x)在区间(a，b)内单调递增的充要条件是f′(x)>0.()(2)函数的极大值一定比极小值大．()(3)对可导函数f(x)，f′(x0)＝0是x0为极值点的充要条件．()(4)函数的最大值不一定是极大值，函数的最小值也不一定是极小值．()答案：(1)×(2)×(3)×(4)√2．(2014·课标全国Ⅱ卷)若函数f(x)＝kx－lnx在区间(1，＋∞)单调递增，则k的取值范围是()A．(－∞，－2]B．(－∞，－1]C．[2，＋∞)D．[1，＋∞)解析：由f′(x)＝k－，又f(x)在(1，＋∞)上单调递增，则f′(x)≥0在x∈(1，＋∞)上恒成立，即k≥在x∈(1，＋∞)上恒成立．又当x∈(1，＋∞)时，0<<1，故k≥1.答案：D3．(2016·威海一模)函数f(x)＝x2－2lnx的单调递减区间是________．解析：依题意可知，函数f(x)的定义域为(0，＋∞)．f′(x)＝2x－＝.由f′(x)<0得00⇔f(x)min>0；(2)存在x∈A，f(x)>0⇔f(x)max>0.2．在实际问题中，如果函数在区间内只有一个极值点，那么只要根据实际意义判定是最大值还是最小值即可，不必再与端点的函数值比较．三个条件1．在某区间内f′(x)>0(f′(x)<0)是函数f(x)在此区间上为增(减)函数的充分不必要条件．2．可导函数f(x)在(a，b)上是增(减)函数的充要条件是：对∀x∈(a，b)，都有f′(x)≥0(f′(x)≤0)，且f′(x)在(a，b)的任何子区间内都不恒为零．3．对于可导函数f(x)，f′(x0)＝0是函数f(x)在x＝x0处有极值的必要不充分条件．三点注意1．求单调区间应遵循定义域优先的原则．2．f′(x0)＝0时，x0不一定是极值点．3．求最值时，应注意极值点和所给区间的关系，关系不确定时应分类讨论．一、选择题1．当函数y＝x·2x取极小值时，x＝()A.B．－C．－ln2D．ln2解析：y′＝2x＋x·2xln2＝0，∴x＝－.经检验，x＝－时函数取极小值，所以x＝－.答案：B2．(2016·临沂模拟)已知f(x)＝ax3＋bx2＋c，其导函数f′(...
