高中数学 第二章 圆锥曲线与方程 2.4.2 抛物线的简单几何性质 第2课时 抛物线方程及性质的应用练习（含解析）新人教A版选修2-1-新人教A版高二选修2-1数学试题VIP免费

第2课时抛物线方程及性质的应用A级基础巩固一、选择题1．若抛物线y2＝－4px(p＞0)的焦点为F，准线为l，则p表示()A．点F到y轴的距离B．点F到准线l的距离C．点F的横坐标D．点F到抛物线上一点的距离解析：由抛物线定义，知抛物线y2＝－4px(p＞0)的焦点到准线的距离为2p，所以p表示点F到y轴的距离．答案：A2．过点(1，0)作斜率为－2的直线，与抛物线y2＝8x交于A，B两点，则弦AB的长为()A．2B．2C．2D．2解析：设A(x1，y1)，B(x2，y2)．由题意知AB的方程为y＝－2(x－1)，即y＝－2x＋2.由得x2－4x＋1＝0，所以x1＋x2＝4，x1x2＝1.所以|AB|＝＝＝＝2.答案：B3．设F为抛物线C：y2＝3x的焦点，过F且倾斜角为30°的直线交C于A，B两点，O为坐标原点，则△OAB的面积()A.B.C.D.答案：D4．已知抛物线C：y2＝8x与点M(－2，2)，过C的焦点且斜率为k的直线与C交于A，B两点．若MA·MB＝0，则k＝()A.B.C.D．2解析：由已知得y2＝8x的焦点坐标为(2，0)，且设过点(2，0)，斜率为k的直线方程为y＝k(x－2)，与抛物线方程联立得则有y＝k，即y2－y－2k＝0.由根与系数的关系得y1＋y2＝，y1y2＝－16.设点A(x1，y1)，B(x2，y2)，则y＝8x1，y＝8x2，且MA·MB＝(x1＋2，y1－2)·(x2＋2，y2－2)＝0，即(x1＋2)(x2＋2)＋(y1－2)(y2－2)＝0，即＋(y1－2)(y2－2)＝0，所以＋(y＋y)＋4＋y1y2－2(y1＋y2)＋4＝0，＋＋4－16－＋4＝0，解得k＝2.答案：D5．过抛物线y2＝4x的焦点作一条直线与抛物线相交于A，B两点，它们的横坐标之和等于5，则这样的直线()A．有且仅有一条B．有且仅有两条C．有无穷多条D．不存在1解析：由定义|AB|＝5＋2＝7，因为|AB|min＝4，所以这样的直线有且仅有两条．答案：B二、填空题6．抛物线x2＝2py(p＞0)的焦点为F，其准线与双曲线－＝1相交于A，B两点．若△ABF为等腰直角三角形，则p＝________．解析：由题意，知△ABF的斜边长为2p，故点B，代入双曲线方程，得p＝2.答案：27．已知点P(x，y)在抛物线y2＝4x上，则z＝x2＋y2＋4的最小值为________．答案：48．已知直线l与抛物线y2＝8x交于A，B两点，且l经过抛物线的焦点F，A点的坐标为(8，8)，则线段AB的中点到准线的距离是________．解析：抛物线的焦点坐标为(2，0)，由题意可得直线l的方程为y＝(x－2)．由得B点的坐标为.所以|AB|＝|AF|＋|BF|＝2＋8＋2＋＝.所以AB的中点到准线的距离为.答案：三、解答题9．如图所示，已知直线l：y＝2x－4交抛物线y2＝4x于A，B两点，试在抛物线AOB这段曲线上求一点P，使△PAB的面积最大，并求出其最大面积．解：由解得或所以A(4，4)，B(1，－2)，所以|AB|＝3.设P(x0，y0)为抛物线AOB这段曲线上一点，d为点P到直线AB的距离，则有d＝＝＝|(y0－1)2－9|.因为－2＜y0＜4，所以(y0－1)2－9＜0.所以d＝[9－(y0－1)2]．从而当y0＝1时，dmax＝，Smax＝××3＝.因此，当P为时，△PAB的面积取得最大值，最大值为.10.如图，直线l：y＝x＋b与抛物线C：x2＝4y相切于点A.(1)求实数b的值；(2)求以点A为圆心，且与抛物线C的准线相切的圆的方程．2解：(1)由得x2－4x－4b＝0.(*)因为直线l与抛物线C相切，所以Δ＝(－4)2－4×(－4b)＝0，解得b＝－1.(2)由(1)可知b＝－1，故方程(*)即为x2－4x＋4＝0，解得x＝2，将其代入x2＝4y，得y＝1.故点A(2，1)．因为圆A与抛物线C的准线相切，所以圆A的半径r等于圆心A到抛物线的准线y＝－1的距离，即r＝|1－(－1)|＝2.所以圆A的方程为(x－2)2＋(y－1)2＝4.B级能力提升1．已知点A(－2，3)在抛物线C：y2＝2px的准线上，过点A的直线与C在第一象限相切于点B，记C的焦点为F，则直线BF的斜率为()A.B.C.D.解析：抛物线y2＝2px的准线方程为x＝－，因为A(－2，3)在准线上，所以－＝－2，即p＝4，从而C：y2＝8x，焦点为F(2，0)．设切线方程为y－3＝k(x＋2)，代入y2＝8x得y2－y＋2k＋3＝0(k≠0)，①由Δ＝1－4×(2k＋3)＝0，解得k＝－2或k＝.因为切点在第一象限，所以k＝.将k＝代入①中，得y＝8.将y＝8再代入y2＝8x中，得x＝8，所以点B的坐标为(8，8)，所以直线BF的斜率为＝.答案：D2．已知O为坐标原点，F为抛物线y2＝4x的焦点，A是抛物线上一点，若OA·AF＝－4，则点A的坐标是________．解析：因为抛物线的焦点...