增分强化练(十一)考点一等差、等比数列的基本运算1．设等比数列{an}的前n项和为Sn，且S2＝4a1，则公比q＝()A.B.C．2D．3解析：由题意，根据等比数列的性质，可得S2＝a1＋a2＝4a1，∴a2＝3a1，∴q＝＝3，故选D.答案：D2．(2019·甘肃质检)在等差数列{an}中，已知a1与a11的等差中项是15，a1＋a2＋a3＝9，则a9＝()A．24B．18C．12D．6解析：由题得，解得，则a9＝8d＝24，故选A.答案：A3．(2019·三明质检)在等比数列{an}中，a2＝2，a5＝4，则a8＝________.解析：设等比数列{an}的公比为q，因为a2＝2，a5＝4，所以q3＝＝2，因此a8＝a5q3＝16.答案：164．已知各项均为正数的等比数列{an}的前n项和为Sn，若S4＝3S2，a3＝2，则a7＝________.解析：设等比数列{an}的首项为a1，公比为q，显然q≠1且q＞0，因为S4＝3S2，所以＝，解得q2＝2，因为a3＝2，所以a7＝a3q4＝2×22＝8.答案：8考点二等差、等比数列的判定与证明1．(2019·蚌埠模拟)已知数列{an}中，a1＝－1，且an－an－1＝)(n≥2，n∈N*)．(1)求数列{an}的通项公式；(2)求证：数列为等差数列．解析：(1)由an－an－1＝＝－，所以当n≥2时，a2－a1＝1－，a3－a2＝－，…，an－an－1＝－，相加得，an－a1＝1－，又a1＝－1，所以an＝－(n≥2，n∈N*)，而a1＝－1也符合，所以数列{an}的通项公式为an＝－(n∈N*)，(2)证明：由(1)知＝－n，则＝－1，＝－(n＋1)，所以－＝－(n＋1)＋n＝－1(常数)，所以数列是首项为－1，公差为－1的等差数列．2．(2019·桂林、崇左模拟)已知数列{an}中，满足a1＝1，an＋1＝2an＋1(n∈N＋)．(1)证明：数列{an＋1}为等比数列；(2)求数列{an}的前n项和Sn.解析：(1)证明：∵an＋1＝2an＋1，∴an＋1＋1＝2(an＋1)，又因为a1＋1＝2，∴数列{an＋1}是以2为首项，2为公比的等比数列．(2)由(1)知an＋1＝2n，∴an＝2n－1，∴Sn＝(21－1)＋(22－1)＋…＋(2n－1)＝(21＋22＋…＋2n)－n＝－n＝2n＋1－n－2.故Sn＝2n＋1－n－2.考点三等差、等比数列的性质1．(2019·宜春模拟)在等比数列{an}中，若a2，a9是方程x2－x－6＝0的两根，则a5·a6的值为()A．6B．－6C．－1D．1解析：因为a2，a9是方程x2－x－6＝0的两根，所以根据根与系数的关系可知a2·a9＝－6，因为数列{an}是等比数列，所以a5·a6＝a2·a9＝－6，故选B.答案：B2．在等差数列{an}中，a1＋a5＋a7＋a9＋a13＝100，a6－a2＝12，则a1＝()A．1B．2C．3D．4解析：在等差数列{an}中，由a1＋a5＋a7＋a9＋a13＝100得5a7＝100，即a1＋6d＝20，又4d＝12，得d＝3,a1＝2，故选B.答案：B3．(2019·晋城模拟)设等比数列{an}的前n项和为Sn，若S2＝3，S4＝15，则S6＝()A．63B．62C．61D．60解析：因为S2，S4－S2，S6－S4成等比数列，即3,12，S6－15成等比数列，所以S6－15＝，解得S6＝63.故选A.答案：A4．(2019·长春质检)设Sn是各项均不为0的等差数列{an}的前n项和，且S13＝13S7，则等于()A．1B．3C．7D．13解析：因为Sn是各项均不为0的等差数列{an}的前n项和，且S13＝13S7，所以＝13×，即a7＝7a4，所以＝7.故选C.答案：C
