一数学归纳法,[学生用书P56])[A基础达标]1.数学归纳法证明中,在验证了n=1时命题正确,假定n=k时命题正确,此时k的取值范围是()A.k∈NB.k>1,k∈N+C.k≥1,k∈N+D.k>2,k∈N+解析:选C.数学归纳法是证明关于正整数n的命题的一种方法,所以k是正整数,又第一步是递推的基础,所以k大于等于1.2.设f(n)=1+++…+(n∈N+),则f(n+1)-f(n)等于()A.B.+C.+D.++解析:选D.因为f(n)=1+++…+,所以f(n+1)=1+++…++++,所以f(n+1)-f(n)=++.3.用数学归纳法证明“当n为正奇数时,xn+yn能被x+y整除”,第二步归纳假设应该写成()A.假设当n=k(k∈N+)时,xn+yn能被x+y整除B.假设当n=2k(k∈N+)时,xn+yn能被x+y整除C.假设当n=2k+1(k∈N+)时,xn+yn能被x+y整除D.假设当n=2k-1(k∈N+)时,xn+yn能被x+y整除答案:D4.用数学归纳法证明“(n+1)(n+2)…(n+n)=2n×1×3×5×…×(2n-1)(n∈N+)”时,从n=k到n=k+1,等式左边需要增乘的代数式是()A.2k+1B.C.2(2k+1)D.解析:选C.当n=k时,等式左边为(k+1)(k+2)…(k+k);当n=k+1时,等式左边为(k+2)(k+3)…(k+1+k+1)1=(k+2)(k+3)…(k+k)(2k+1)(2k+2)=(k+1)(k+2)…(k+k)·,即增乘了=2(2k+1).5.在用数学归纳法证明等式1+2+3+…+2n=2n2+n(n∈N*)的第(ii)步中,假设n=k时原等式成立,那么在n=k+1时需要证明的等式为()A.1+2+3+…+2k+2(k+1)=2k2+k+2(k+1)2+(k+1)B.1+2+3+…+2k+2(k+1)=2(k+1)2+(k+1)C.1+2+3+…+2k+2k+1+2(k+1)=2k2+k+2(k+1)2+(k+1)D.1+2+3+…+2k+2k+1+2(k+1)=2(k+1)2+(k+1)解析:选D.因为用数学归纳法证明等式1+2+3+…+2n=2n2+n时,当n=1时左边所得的项是1+2;假设n=k时,命题成立,1+2+3+…+2k=2k2+k,则当n=k+1时,左端为1+2+3+…+2k+2k+1+2(k+1),所以1+2+3+…+2k+2k+1+2(k+1)=2(k+1)2+(k+1).故选D.6.用数学归纳法证明时,设f(k)=1×4+2×7+…+k(3k+1)=k(k+1)2,则f(k+1)=________.解析:f(k+1)=1×4+2×7+…+k(3k+1)+(k+1)(3k+4)=(k+1)(k+2)2.答案:(k+1)(k+2)27.用数学归纳法证明“1+2+22+…+2n-1=2n-1(n∈N+)”的过程中,第二步假设n=k时等式成立,则当n=k+1时应得到________.解析:因为n=k时,命题为“1+2+22+…+2k-1=2k-1”,所以n=k+1时,为使用归纳假设,应写成1+2+22+…+2k-1+2k=2k+1-1.答案:1+2+22+…+2k-1+2k=2k+1-18.已知平面上有n(n∈N+,n≥3)个点,其中任何三点都不共线,过这些点中任意两点作直线,设这样的直线共有f(n)条,则f(3)=________,f(4)=________,f(5)=________,f(n+1)=f(n)+________.解析:当n=k时,有f(k)条直线.当n=k+1时,增加的第k+1个点与原k个点共连成k条直线,即增加k条直线,所以f(k+1)=f(k)+k.又f(2)=1,所以f(3)=3,f(4)=6,f(5)=10,f(n+1)=f(n)+n.2答案:3610n9.用数学归纳法证明:1×2×3+2×3×4+…+n(n+1)(n+2)=(n∈N+).证明:(1)当n=1时,左边=1×2×3=6,右边==6,等式成立.(2)假设当n=k(k≥1,k∈N+)时等式成立,即1×2×3+2×3×4+…+k(k+1)(k+2)=,那么当n=k+1时,1×2×3+2×3×4+…+k(k+1)(k+2)+(k+1)(k+2)(k+3)=+(k+1)(k+2)(k+3)=(k+1)(k+2)(k+3)(k+4).即当n=k+1时等式成立.综合上述(1)(2)得,对一切正整数n,等式都成立.10.证明:凸n边形的对角线的条数为f(n)=n(n-3)(n≥4,n∈N+).证明:(1)当n=4时,四边形有两条对角线,f(4)=×4×(4-3)=2,命题成立.(2)假设当n=k(k≥4,n∈N+)时命题成立,即f(k)=k(k-3),那么,当n=k+1时,增加一个顶点,凸多边形的对角线增加k-1条,则f(k+1)=k(k-3)+k-1=(k2-k-2)=(k+1)(k-2)=(k+1)[(k+1)-3],即当n=k+1时命题也成立.根据(1)(2),可知命题对任意的n≥4,n∈N+都成立.[B能力提升]1.已知f(n)=(2n+7)·3n+9,存在自然数m,使得对任意n∈N+...