高中数学 第四讲 用数学归纳法证明不等式 一 数学归纳法练习 新人教A版选修4-5-新人教A版高二选修4-5数学试题VIP免费

一数学归纳法,[学生用书P56])[A基础达标]1．数学归纳法证明中，在验证了n＝1时命题正确，假定n＝k时命题正确，此时k的取值范围是()A．k∈NB．k>1，k∈N＋C．k≥1，k∈N＋D．k>2，k∈N＋解析：选C.数学归纳法是证明关于正整数n的命题的一种方法，所以k是正整数，又第一步是递推的基础，所以k大于等于1.2．设f(n)＝1＋＋＋…＋(n∈N＋)，则f(n＋1)－f(n)等于()A．B．＋C．＋D．＋＋解析：选D.因为f(n)＝1＋＋＋…＋，所以f(n＋1)＝1＋＋＋…＋＋＋＋，所以f(n＋1)－f(n)＝＋＋.3．用数学归纳法证明“当n为正奇数时，xn＋yn能被x＋y整除”，第二步归纳假设应该写成()A．假设当n＝k(k∈N＋)时，xn＋yn能被x＋y整除B．假设当n＝2k(k∈N＋)时，xn＋yn能被x＋y整除C．假设当n＝2k＋1(k∈N＋)时，xn＋yn能被x＋y整除D．假设当n＝2k－1(k∈N＋)时，xn＋yn能被x＋y整除答案：D4．用数学归纳法证明“(n＋1)(n＋2)…(n＋n)＝2n×1×3×5×…×(2n－1)(n∈N＋)”时，从n＝k到n＝k＋1，等式左边需要增乘的代数式是()A．2k＋1B．C．2(2k＋1)D．解析：选C.当n＝k时，等式左边为(k＋1)(k＋2)…(k＋k)；当n＝k＋1时，等式左边为(k＋2)(k＋3)…(k＋1＋k＋1)1＝(k＋2)(k＋3)…(k＋k)(2k＋1)(2k＋2)＝(k＋1)(k＋2)…(k＋k)·，即增乘了＝2(2k＋1)．5．在用数学归纳法证明等式1＋2＋3＋…＋2n＝2n2＋n(n∈N*)的第(ii)步中，假设n＝k时原等式成立，那么在n＝k＋1时需要证明的等式为()A．1＋2＋3＋…＋2k＋2(k＋1)＝2k2＋k＋2(k＋1)2＋(k＋1)B．1＋2＋3＋…＋2k＋2(k＋1)＝2(k＋1)2＋(k＋1)C．1＋2＋3＋…＋2k＋2k＋1＋2(k＋1)＝2k2＋k＋2(k＋1)2＋(k＋1)D．1＋2＋3＋…＋2k＋2k＋1＋2(k＋1)＝2(k＋1)2＋(k＋1)解析：选D.因为用数学归纳法证明等式1＋2＋3＋…＋2n＝2n2＋n时，当n＝1时左边所得的项是1＋2；假设n＝k时，命题成立，1＋2＋3＋…＋2k＝2k2＋k，则当n＝k＋1时，左端为1＋2＋3＋…＋2k＋2k＋1＋2(k＋1)，所以1＋2＋3＋…＋2k＋2k＋1＋2(k＋1)＝2(k＋1)2＋(k＋1)．故选D.6．用数学归纳法证明时，设f(k)＝1×4＋2×7＋…＋k(3k＋1)＝k(k＋1)2，则f(k＋1)＝________．解析：f(k＋1)＝1×4＋2×7＋…＋k(3k＋1)＋(k＋1)(3k＋4)＝(k＋1)(k＋2)2.答案：(k＋1)(k＋2)27．用数学归纳法证明“1＋2＋22＋…＋2n－1＝2n－1(n∈N＋)”的过程中，第二步假设n＝k时等式成立，则当n＝k＋1时应得到________．解析：因为n＝k时，命题为“1＋2＋22＋…＋2k－1＝2k－1”，所以n＝k＋1时，为使用归纳假设，应写成1＋2＋22＋…＋2k－1＋2k＝2k＋1－1.答案：1＋2＋22＋…＋2k－1＋2k＝2k＋1－18．已知平面上有n(n∈N＋，n≥3)个点，其中任何三点都不共线，过这些点中任意两点作直线，设这样的直线共有f(n)条，则f(3)＝________，f(4)＝________，f(5)＝________，f(n＋1)＝f(n)＋________．解析：当n＝k时，有f(k)条直线．当n＝k＋1时，增加的第k＋1个点与原k个点共连成k条直线，即增加k条直线，所以f(k＋1)＝f(k)＋k.又f(2)＝1，所以f(3)＝3，f(4)＝6，f(5)＝10，f(n＋1)＝f(n)＋n.2答案：3610n9．用数学归纳法证明：1×2×3＋2×3×4＋…＋n(n＋1)(n＋2)＝(n∈N＋)．证明：(1)当n＝1时，左边＝1×2×3＝6，右边＝＝6，等式成立．(2)假设当n＝k(k≥1，k∈N＋)时等式成立，即1×2×3＋2×3×4＋…＋k(k＋1)(k＋2)＝，那么当n＝k＋1时，1×2×3＋2×3×4＋…＋k(k＋1)(k＋2)＋(k＋1)(k＋2)(k＋3)＝＋(k＋1)(k＋2)(k＋3)＝(k＋1)(k＋2)(k＋3)(k＋4)．即当n＝k＋1时等式成立．综合上述(1)(2)得，对一切正整数n，等式都成立．10．证明：凸n边形的对角线的条数为f(n)＝n(n－3)(n≥4，n∈N＋)．证明：(1)当n＝4时，四边形有两条对角线，f(4)＝×4×(4－3)＝2，命题成立．(2)假设当n＝k(k≥4，n∈N＋)时命题成立，即f(k)＝k(k－3)，那么，当n＝k＋1时，增加一个顶点，凸多边形的对角线增加k－1条，则f(k＋1)＝k(k－3)＋k－1＝(k2－k－2)＝(k＋1)(k－2)＝(k＋1)[(k＋1)－3]，即当n＝k＋1时命题也成立．根据(1)(2)，可知命题对任意的n≥4，n∈N＋都成立．[B能力提升]1．已知f(n)＝(2n＋7)·3n＋9，存在自然数m，使得对任意n∈N＋...