2.3.1双曲线及其标准方程课时演练·促提升A组1.已知方程=1表示双曲线,则实数k的取值范围是()A.-40C.k≥0D.k>4或k<-4解析:依题意应有(4+k)(4-k)>0,解得-40,所以4-m2>0,即方程表示焦点在x轴上的双曲线,从而a2=m2+12,b2=4-m2,因此c==4,故焦距2c=8.答案:C3.若点M在双曲线=1上,双曲线的焦点为F1,F2,且|MF1|=3|MF2|,则|MF2|等于()A.2B.4C.8D.12解析:双曲线中a2=16,a=4,2a=8,由双曲线定义知||MF1|-|MF2||=8,又|MF1|=3|MF2|,所以3|MF2|-|MF2|=8,解得|MF2|=4.答案:B4.已知双曲线C:=1的焦距为10,点P(2,1)在直线y=x上,则双曲线C的方程为()A.=1B.=1C.=1D.=1解析:若点P(2,1)在直线y=x上,则1=,∴a=2b.① 双曲线的焦距为10,∴a2+b2=52.将①代入上式,得b2=5,从而a2=20,故双曲线C的方程为=1.答案:A5.已知动圆M过定点B(-4,0),且和定圆(x-4)2+y2=16相切,则动圆圆心M的轨迹方程为()A.=1(x>0)B.=1(x<0)C.=1D.=1解析:设动圆M的半径为r,依题意有|MB|=r,另设A(4,0),则有|MA|=r±4,即|MA|-|MB|=±4.亦即动圆圆心M到两定点A,B的距离之差的绝对值等于常数4,又4<|AB|,因此动点M的轨迹为双曲线,且c=4,2a=4,所以a=2,a2=4,b2=c2-a2=12.故轨迹方程是=1.答案:C6.已知P是双曲线x2-y2=16的左支上一点,F1,F2分别是左、右焦点,则|PF1|-|PF2|=.解析:双曲线方程可化为=1,所以a2=16,a=4.因为点P在左支上,所以|PF1|-|PF2|=-2a=-8.答案:-87.F1,F2是双曲线=1的两个焦点,点P在双曲线上且满足|PF1|·|PF2|=32,则∠F1PF2=.解析:设∠F1PF2=α,|PF1|=r1,|PF2|=r2(r1>0,r2>0),则r1r2=32,|r1-r2|=2a=6.在△F1PF2中,由余弦定理,得cosα====0.故α=90°.1答案:90°8.对于曲线C:=1,给出下面四个命题:①曲线C不可能表示椭圆;②当14;④若曲线C表示焦点在x轴上的椭圆,则14,此时方程表示双曲线,故③正确.所以应填③④.答案:③④9.设双曲线与椭圆=1有共同的焦点,且与椭圆相交,在第一象限的交点A的纵坐标为4,求此双曲线的方程.解:由椭圆方程=1,得椭圆的两个焦点为F1(0,-3),F2(0,3).因为椭圆与双曲线在第一象限的交点A的纵坐标为4,所以这个交点为A(,4).方法一:设双曲线方程为=1(a>0,b>0),由题意得解得故所求双曲线方程为=1.方法二: 2a=||AF1|-|AF2||=||=4,∴a=2.又 c=3,∴b2=c2-a2=5. 双曲线的焦点在y轴上,∴双曲线的方程为=1.10.设P为双曲线=1上一点,F1,F2是该双曲线的两个焦点,若∠F1PF2=60°,求△PF1F2的面积.解:由方程=1,得a=4,b=3,故c==5,所以|F1F2|=2c=10.又由双曲线的定义,得||PF1|-|PF2||=8,两边平方,得|PF1|2+|PF2|2-2|PF1||PF2|=64.①在△PF1F2中,由余弦定理,得|F1F2|2=|PF1|2+|PF2|2-2|PF1||PF2|cos60°,即|PF1|2+|PF2|2-|PF1||PF2|=100.②①-②,得|PF1||PF2|=36,所以|PF1||PF2|sin60°=×36×=9.B组1.已知点P(x,y)的坐标满足=±4,则动点P的轨迹是()A.椭圆B.双曲线C.两条射线D.以上都不对解析:依题意,动点P到两定点(1,1)和(-3,-3)的距离之差的绝对值等于4,且两定点间距离为4,4<4,故动点P的轨迹是双曲线.答案:B2.椭圆=1与双曲线-x2=1有公共点P,则点P与双曲线两焦点连线构成的三角形的面积为()A.4B.5C.5D.3解析:由已知得椭圆与双曲线具有共同的焦点F1(0,4)和F2(0,-4),又由椭圆与双曲线的定义,得所以|PF1|=5+,|PF2|=5-,或|PF1|=5-,|PF2|=5+.在△PF1F2中,由余弦定理,得cos∠F1PF2==,所以sin∠F1PF2=.因此△PF1F2的面积S=|PF1|·|PF2|sin∠F1PF2=×(5+)×(5-)×=3.答案:D3.已知双曲线的两个焦点F1(-,0),F2(,0),P是双曲线上一点,且=0,|PF1|·|PF2|=2,则双曲线的标准方程为.解析:由题意可设双曲线的标准方程为=1(a>0,b>0).由=0,得PF1⊥PF2.2根据勾股定理,得|PF1|2+|PF2|2=(2c)2,即|PF1|2+|PF2|2=20,又根据双曲线定义,得|PF1|-|PF2|=±2a,两边平方代入|PF1|·|PF2|=2,得20-2×2=4a2,解得a2=4,从而b2=5-4=1,所以双曲线方程为-y2=1.答案:-y2=14.已...
