21坐标系与参数方程1.已知动点P,Q都在曲线C:{x=2cost,y=2sint(t为参数)上,对应参数分别为t=α与t=2α(0<α<2π),M为PQ的中点.(1)求点M的轨迹的参数方程;(2)将点M到坐标原点的距离d表示为α的函数,并判断点M的轨迹是否过坐标原点.解析▶(1)由题意得P(2cosα,2sinα),Q(2cos2α,2sin2α),因此M(cosα+cos2α,sinα+sin2α),故点M的轨迹的参数方程为{x=cosα+cos2α,y=sinα+sin2α(α为参数,0<α<2π).(2)点M到坐标原点的距离d=❑√x2+y2=❑√2+2cosα(0<α<2π),当α=π时,d=0,故点M的轨迹过坐标原点.2.已知圆O1,圆O2的极坐标方程分别为ρ=4cosθ,ρ=-sinθ.(1)把圆O1和圆O2的极坐标方程化为直角坐标方程;(2)求经过圆O1与圆O2的两个交点的直线的直角坐标方程,并将其化为极坐标方程.解析▶(1)由ρ=4cosθ得ρ2=4ρcosθ,将ρcosθ=x,ρ2=x2+y2代入上式,可得x2+y2=4x,所以圆O1的直角坐标方程为x2+y2-4x=0.由ρ=-sinθ得ρ2=-ρsinθ,将ρ2=x2+y2,ρsinθ=y代入上式,可得x2+y2=-y,所以圆O2的直角坐标方程为x2+y2+y=0.(2)由x2+y2-4x=0及x2+y2+y=0,两式相减得4x+y=0,所以经过圆O1与圆O2的两个交点的直线的直角坐标方程为4x+y=0.将4x+y=0化为极坐标方程为4ρcosθ+ρsinθ=0,即tanθ=-4.3.在平面直角坐标系xOy中,以坐标原点O为极点,x轴正半轴为极轴建立极坐标系,已知直线l的参数方程为{x=2❑√55t,y=2+❑√55t(t为参数),曲线C的极坐标方程为ρcos2θ=8sinθ.(1)求曲线C的直角坐标方程,并指出该曲线是什么曲线;(2)若直线l与曲线C的交点分别为M,N,求|MN|.解析▶(1)因为cosρ2θ=8sinθ,所以cosρ22θ=8ρsinθ,即x2=8y,所以曲线C表示焦点坐标为(0,2),对称轴为y轴的抛物线.(2)易知直线l过抛物线的焦点(0,2),且参数方程为{x=2❑√55t,y=2+❑√55t(t为参数),代入曲线C的直角坐标方程,得t2-2❑√5t-20=0,设M,N对应的参数分别为t1,t2,所以t1+t2=2❑√5,t1t2=-20.所以|MN|=|t1-t2|=❑√(t1+t2)2-4t1t2=10.4.以平面直角坐标系的原点为极点,x轴的正半轴为极轴建立极坐标系,已知曲线C1的极坐标方程为ρsin(θ-π4)=❑√2,曲线C2的极坐标方程为ρ=2cos(θ-π4).(1)写出曲线C1的直角坐标方程和曲线C2的参数方程;(2)设M,N分别是曲线C1,C2上的两个动点,求|MN|的最小值.解析▶(1)依题意得,ρsin(θ-π4)=❑√22ρsinθ-❑√22ρcosθ=❑√2,所以曲线C1的直角坐标方程为x-y+2=0.由曲线C2的极坐标方程得ρ2=2ρcos(θ-π4)=❑√2ρcosθ+❑√2ρsinθ,所以曲线C2的直角坐标方程为x2+y2-❑√2x-❑√2y=0,即(x-❑√22)2+(y-❑√22)2=1,所以曲线C2的参数方程为{x=❑√22+cosθ,y=❑√22+sinθ(θ为参数).(2)由(1)知,圆C2的圆心(❑√22,❑√22)到直线x-y+2=0的距离d=|❑√22-❑√22+2|❑√2=❑√2.又半径r=1,所以|MN|min=d-r=❑√2-1.能力1▶能用曲线极坐标方程解决问题【例1】在平面直角坐标系xOy中,圆C的圆心为(0,12),半径为12,现以坐标原点为极点,x轴的正半轴为极轴建立极坐标系.(1)求圆C的极坐标方程;(2)设M,N是圆C上两个动点,且满足∠MON=2π3,求|OM|+|ON|的最小值.解析▶(1)由题意得圆C的直角坐标方程为x2+(y-12)2=14,即x2+y2-y=0,化为极坐标方程为ρ2-ρsinθ=0,整理可得ρ=sinθ.(2)设M(ρ1,θ),N(ρ2,θ+2π3),则|OM|+|ON|=ρ1+ρ2=sinθ+sin(θ+2π3)=12sinθ+❑√32cosθ=sin(θ+π3).由{0≤θ≤π,0≤θ+2π3≤π,得0≤θ≤π3,所以π3≤θ+π3≤2π3,故❑√32≤sin(θ+π3)≤1,即|OM|+|ON|的最小值为❑√32.由极坐标方程求与曲线有关的交点、距离等几何问题时,若能用极坐标系求解,可直接用极坐标求解;若不能直接用极坐标解决,可先转化为直角坐标方程,然后求解.已知曲线C:ρ=-2sinθ.(1)求曲线C的直角坐标方程;(2)若曲线C与直线x+y+a=0有公共点,求实数a的取值范围.解析▶(1)由ρ=-2sinθ可得ρ2=-2ρsinθ,即x2+y2=-2y,∴曲线C的直角坐标方程为x2+(y+1)2=1.(2)由圆C与直线有公共点,得圆心C到直线的距离d=|0-1+a|❑√2≤1,解得1-❑√2≤a≤1+❑√2.∴实数a的取值范围为[1-❑√2,1+❑√2].能力2▶会用参数方程解决问题【例2】在平面直角坐标系xOy中,曲线C的参数方程为{x=2cosθ,y=4sinθ(θ为参数),直...
