课时作业(七)函数的极值与导数A组基础巩固1．函数f(x)＝x＋2cosx在上的极大值点为()A．0B.C.D.解析：f′(x)＝1－2sinx，令f′(x)＝0知x＝.当0＜x＜时，f′(x)＞0；当＜x＜时，f′(x)＜0.∴当x＝时，f(x)有极大值．答案：B2．对于函数f(x)＝x3－3x2，给出命题：①f(x)是增函数，无极值；②f(x)是减函数，无极值；③f(x)的单调递增区间为(－∞，0)，(2，＋∞)，单调递减区间为(0,2)；④f(0)＝0是极大值，f(2)＝－4是极小值．其中正确的命题有()A．1个B．2个C．3个D．4个解析：③④正确．f′(x)＝3x2－6x.令f′(x)＝3x2－6x＞0，得x＞2或x＜0；令f′(x)＝3x2－6x＜0，得0＜x＜2，∴函数f(x)在区间(－∞，0)和(2，＋∞)上单调递增，在区间(0,2)上单调递减．当x＝0和x＝2时，函数分别取得极大值0和极小值－4.答案：B3．已知函数y＝2x3＋ax2＋36x－24在x＝2处有极值，则该函数的一个递增区间是()A．(2,3)B．(3，＋∞)C．(2，＋∞)D．(－∞，3)解析：因为函数y＝2x3＋ax2＋36x－24在x＝2处有极值，所以有f′(2)＝0，而f′(x)＝6x2＋2ax＋36，代入得a＝－15.现令f′(x)＞0，解得x＞3或x＜2，所以函数的一个递增区间是(3，＋∞)．答案：B4．已知函数f(x)＝x3－px2－qx的图象与x轴切于(1,0)点，则f(x)的()A．极大值为，极小值为0B．最大值为0，最小值为－C．极小值为－，极大值为0D．最小值为0，最大值为解析：f′(x)＝3x2－2px－q. f(x)＝x3－px2－qx的图象与x轴切于(1,0)点，∴f′(1)＝3－2p－q＝0，且f(1)＝1－p－q＝0，∴p＝2，q＝－1，∴f′(x)＝3x2－4x＋1，f(x)＝x3－2x2＋x.令f′(x)＝0，得x＝或x＝1.当x＜时，f′(x)＞0；当＜x＜1时，f′(x)＜0；当x＞1时，f′(x)＞0.∴f(x)＝x3－2x2＋x在上递增，在上递减，在(1，＋∞)上递增．∴当x＝时，f(x)极大值＝－＋＝；当x＝1时，f(x)极小值＝1－2＋1＝0.答案：A5．设函数f(x)在R上可导，其导函数为f′(x)，且函数f(x)在x＝－2处取得极小值，则函数y＝xf′(x)的图象可能是()ABCD解析：由题意可得f′(－2)＝0，而且当x∈(－∞，－2)时，f′(x)＜0，此时xf′(x)＞0；1当x∈(－2，＋∞)时，f′(x)＞0，此时若x∈(－2,0)，xf′(x)＜0，若x∈(0，＋∞)，xf′(x)＞0，所以函数y＝xf′(x)的图象可能是C.答案：C6．设a∈R，若函数y＝ex＋ax(x∈R)有大于零的极值点，则()A．a＜－1B．a＞－1C．a＜－D．a＞－解析： y＝ex＋ax，∴y′＝ex＋a.令y′＝ex＋a＝0，则ex＝－a，∴x＝ln(－a)．又 x＞0，∴－a＞1，即a＜－1.答案：A7．若函数y＝－x3＋6x2＋m的极大值为13，则实数m等于__________．解析：y′＝－3x2＋12x＝－3x(x－4)．由y′＝0，得x＝0或4.且x∈(－∞，0)∪(4，＋∞)时，y′＜0；x∈(0,4)时，y′＞0.∴x＝4时取到极大值．故－64＋96＋m＝13，解得m＝－19.答案：－198．若函数y＝x·2x在x＝x0时取极小值，则x0＝__________.解析：令y′＝2x＋x·2xln2＝2x(1＋xln2)＝0，得x＝－.∴当x＞－时，y′＞0，函数递增；当x＜－时，y′＜0，函数递减．∴x＝－时取极小值．答案：－9．已知函数f(x)＝ax3＋bx2＋cx，其导函数y＝f′(x)的图象经过点(1,0)，(2,0)．如图，则下列说法中不正确的是________．(填序号)①当x＝时，函数取得最小值；②f(x)有两个极值点；③当x＝2时函数值取得极小值；④当x＝1时函数取得极大值．解析：由图象可知，x＝1,2是函数的两极值点，∴②正确；又x∈(－∞，1)∪(2，＋∞)时，y′＞0；x∈(1,2)时，y′＜0，∴x＝1是极大值点，x＝2是极小值点，故③④正确．答案：①10．设a为实数，函数f(x)＝ex－2x＋2a，x∈R，求f(x)的单调区间与极值．解析：由f(x)＝ex－2x＋2a，x∈R知f′(x)＝ex－2，x∈R.令f′(x)＝0，得x＝ln2.于是当x变化时，f′(x)，f(x)的变化情况如下表：x(－∞，ln2)ln2(ln2，＋∞)f′(x)－0＋f(x)单调递减↘2(1－ln2＋a)单调递增↗故f(x)的单调递减区间是(－∞，ln2)，单调递增区间是(ln2，＋∞)；且f(x)在x＝ln2处取得极小值．极小值为f(ln2)＝eln2－2ln2＋2a＝2(1－ln2＋a)，无极大值．B组能力提升11．函数f(x)＝ax2＋bx在x＝处有极值，则b的值为________．解析：f′(x)＝2ax＋b， 函数f(x)在x＝处...
