6.2.4向量的数量积一、选择题1．若|m|＝4，|n|＝6，m与n的夹角为45°，则m·n＝()A．12B．12C．－12D．－12解析：m·n＝|m||n|cosθ＝4×6×cos45°＝24×＝12.答案：B2．已知a·b＝－12，|a|＝4，a和b的夹角为135°，则|b|＝()A．12B．3C．6D．3解析：a·b＝|a||b|cos135°＝－12，又|a|＝4，解得|b|＝6.答案：C3．已知向量a，b满足|a|＝2，|b|＝3，a·(b－a)＝－1，则a与b的夹角为()A.B.C.D.解析：因为|a|＝2，a·(b－a)＝－1，所以a·(b－a)＝a·b－a2＝a·b－22＝－1，所以a·b＝3.又因为|b|＝3，设a与b的夹角为θ，则cosθ＝＝＝.又θ∈[0，π]，所以θ＝.答案：C4．若a·b＞0，则a与b的夹角θ的取值范围是()A.B.C.D.解析：因为a·b＞0，所以cosθ＞0，所以θ∈.答案：A二、填空题5．如图所示，在Rt△ABC中，∠A＝90°，AB＝1，则AB·BC的值是________．解析：方法一AB·BC＝|AB||BC|cos(180°－∠B)＝－|AB||BC|cos∠B＝－|AB||BC|·＝－|AB|2＝－1.方法二|BA|＝1，即BA为单位向量，AB·BC＝－BA·BC＝－|BA||BC|cos∠B，而|BC|·cos∠B＝|BA|，所以AB·BC＝－|BA|2＝－1.答案：－16．已知向量a，b满足|a|＝1，|b|＝4，且a·b＝2，则a与b的夹角为________．解析：设a与b的夹角为θ，cosθ＝＝＝，又因为θ∈[0，π]，所以θ＝.答案：7．已知|a|＝3，向量a与b的夹角为，则a在b方向上的投影为________．解析：向量a在b方向上的投影为|a|cosθ＝3×cos＝.答案：三、解答题8．已知|a|＝3，|b|＝4，a与b的夹角为120°，求：(1)a2－b2；(2)(2a－b)·(a＋3b)．解析：(1)a2－b2＝|a|2－|b|2＝32－42＝－7.(2)(2a－b)·(a＋3b)＝2a2＋5a·b－3b2＝2|a|2＋5|a||b|·cos120°－3|b|2＝2×32＋5×3×4×－3×42＝－60.9．(1)已知|a|＝|b|＝5，向量a与b的夹角为，求|a＋b|，|a－b|，|3a＋b|；(2)已知|a|＝|b|＝5，且|3a－2b|＝5，求|3a＋b|的值；(3)如图，已知在▱ABCD中，AB＝3，AD＝1，∠DAB＝，求对角线AC和BD的长．解析：(1)a·b＝|a||b|cos＝5×5×＝，∴|a＋b|＝＝＝＝5，|a－b|＝＝＝＝5，|3a＋b|＝＝＝＝5.(2)∵|3a－2b|2＝9|a|2－12a·b＋4|b|2＝9×25－12a·b＋4×25＝325－12a·b，又|3a－2b|＝5，∴325－12a·b＝25，则a·b＝25.∴|3a＋b|2＝(3a＋b)2＝9a2＋6a·b＋b2＝9×25＋6×25＋25＝400.故|3a＋b|＝20.(3)设AB＝a，AD＝b，则|a|＝3，|b|＝1，a与b的夹角θ＝.∴a·b＝|a||b|cosθ＝.又∵AC＝a＋b，DB＝a－b，∴|AC|＝＝＝＝，|DB|＝＝＝＝.∴AC＝，BD＝.[尖子生题库]10．已知|a|＝2|b|＝2，且向量a在向量b方向上的投影为－1.(1)求a与b的夹角θ；(2)求(a－2b)·b；(3)当λ为何值时，向量λa＋b与向量a－3b互相垂直？解析：(1)由题意知|a|＝2，|b|＝1.又a在b方向上的投影为|a|cosθ＝－1，∴cosθ＝－，∴θ＝.(2)易知a·b＝－1，则(a－2b)·b＝a·b－2b2＝－1－2＝－3.(3)∵λa＋b与a－3b互相垂直，∴(λa＋b)·(a－3b)＝λa2－3λa·b＋b·a－3b2＝4λ＋3λ－1－3＝7λ－4＝0，∴λ＝.
