2.3.2抛物线的简单几何性质【选题明细表】知识点、方法题号抛物线的几何性质8直线与抛物线的位置关系1,9抛物线的焦点弦问题2,3,7抛物线中的最值问题4,10,11,13抛物线中的定值问题12综合应用5,6【基础巩固】1.已知直线y=kx-k及抛物线y2=2px(p>0),则(C)(A)直线与抛物线有一个公共点(B)直线与抛物线有两个公共点(C)直线与抛物线有一个或两个公共点(D)直线与抛物线可能没有公共点解析:因为直线y=kx-k=k(x-1),所以直线过点(1,0),又点(1,0)在抛物线y2=2px的内部,所以当k=0时,直线与抛物线有一个公共点;当k≠0时,直线与抛物线有两个公共点.故选C.2.过抛物线y2=8x的焦点作倾斜角为45°的直线,则被抛物线截得的弦长为(B)(A)8(B)16(C)32(D)64解析:由题可知抛物线y2=8x的焦点为(2,0),直线的方程为y=x-2,代入y2=8x,得(x-2)2=8x,即x2-12x+4=0,所以x1+x2=12,弦长=x1+x2+p=12+4=16.故选B.3.已知抛物线y2=2px(p>0)的焦点为F,点P1(x1,y1),P2(x2,y2),P3(x3,y3)在抛物线上,且2x2=x1+x3,则有(C)(A)|FP1|+|FP2|=|FP3|(B)|FP1|2+|FP2|2=|FP3|2(C)|FP1|+|FP3|=2|FP2|(D)|FP1|·|FP3|=|FP2|2解析:由焦半径公式,知|FP1|=x1+,|FP2|=x2+,|FP3|=x3+.因为2x2=x1+x3,所以2(x2+)=(x1+)+(x3+),即2|FP2|=|FP1|+|FP3|.1故选C.4.(2018·临川高二月考)抛物线y=-x2上的点到直线4x+3y-8=0距离的最小值是(A)(A)(B)(C)(D)3解析:设抛物线y=-x2上一点为(m,-m2),该点到直线4x+3y-8=0的距离为,当m=时,取得最小值为.故选A.5.(2016·全国Ⅱ卷)设F为抛物线C:y2=4x的焦点,曲线y=(k>0)与C交于点P,PF⊥x轴,则k等于(D)(A)(B)1(C)(D)2解析:由题知P(1,2),2=k.故选D.6.(2018·郑州高二检测)过抛物线y2=2px(p>0)的焦点F的直线与抛物线交于A,B两点,若A,B在准线上的射影为A1,B1,则∠A1FB1等于(A)(A)90°(B)45°(C)60°(D)120°解析:如图,由抛物线定义知|AA1|=|AF|,|BB1|=|BF|,所以∠AA1F=∠AFA1,又∠AA1F=∠A1FO,所以∠AFA1=∠A1FO,同理∠BFB1=∠B1FO,于是∠AFA1+∠BFB1=∠A1FO+∠B1FO=∠A1FB1.故∠A1FB1=90°.故选A.7.(2018·兰州高二检测)在抛物线y2=16x内,过点(2,1)且被此点平分的弦AB所在直线的方程是.解析:显然斜率不存在时的直线不符合题意.设直线斜率为k,则直线方程为y-1=k(x-2),①由消去x得ky2-16y+16(1-2k)=0,所以y1+y2==2(y1,y2分别是A,B的纵坐标),所以k=8.代入①得y=8x-15.答案:y=8x-158.抛物线的顶点在原点,以x轴为对称轴,经过焦点且倾斜角为135°的直线被抛物线所截2得的弦长为8,试求抛物线的标准方程.解:如图,依题意可设抛物线标准方程为y2=2px(p>0),则直线方程为y=-x+p.设直线交抛物线于A(x1,y1),B(x2,y2),过A,B分别作准线的垂线,垂足为C,D,则由抛物线定义得|AB|=|AF|+|FB|=|AC|+|BD|=x1++x2+,即x1+x2+p=8.①又A(x1,y1),B(x2,y2)是直线和抛物线的交点,由消去y得x2-3px+=0.所以x1+x2=3p,②将②代入①,得p=2.所以所求的抛物线标准方程为y2=4x.当抛物线方程设为y2=-2px(p>0)时,同理可求得抛物线标准方程为y2=-4x.【能力提升】9.(2017·高安市校级高二月考)已知直线y=2(x-1)与抛物线C:y2=4x交于A,B两点,点M(-1,m),若·=0,则m等于(B)(A)(B)(C)(D)0解析:由可得8x2-20x+8=0,解得x=2或x=,则A(2,2),B(,-),点M(-1,m),由·=0,3可得(3,2-m)·(,--m)=0.化简得2m2-2m+1=0,解得m=.故选B.10.(2018·宜春高二月考)已知F为抛物线y2=x的焦点,点A,B在该抛物线上且位于x轴的两侧,·=2(其中O为坐标原点),则△ABO与△AFO面积之和的最小值是(B)(A)2(B)3(C)(D)解析:设点A的坐标为(a2,a),点B的坐标为(b2,b),直线AB的方程为x=ty+m,与抛物线y2=x联立得y2-ty-m=0,故ab=-m,由·=2得a2b2+ab=2,故ab=-2或ab=1(舍去),所以m=2,所以△ABO的面积等于m|a-b|=|a-b|=|a+|,△AFO的面积等于×|a|=,所以△ABO与△AFO的面积之和为|a+|+=|a|+||≥2=3.当且仅当|a|=时,等号成立.故选B.11.(2018·云南质检)对于抛物线y2=4x上任意一点Q,点P(a,0)满足|PQ|≥|a|,则a的取值范围是.解析:设点Q的坐标为(,y0),由|PQ|≥|a|,得+(-a)2≥a2,整理得(+16-8a)≥0,因为≥0,所以+16-8a≥0,4即a≤2+恒成立.而2+的最小值为2,所以a≤2.答案:(-∞,2]12.(2018·湖南六校联考)如图所示,已知点M(a,3)是...
