4.1平面向量及其线性运算【考纲要求】（1）平面向量的实际背景及基本概念①了解向量的实际背景.②理解平面向量的概念及向量相等的含义.③理解向量的几何表示.（2）向量的线性运算①掌握向量加法、减法的运算，并理解其几何意义.②掌握向量数乘的运算及其意义，理解两个向量共线的含义.③了解向量线性运算的性质及其几何意义.【基础知识】1.平面向量的有关概念：（1）向量的定义：既有大小又有方向的量叫做向量.（2）表示方法：用有向线段来表示向量.有向线段的长度表示向量的大小，用箭头所指的方向表示向量的方向.用字母…或用，，…表示.（3）模：向量的长度叫向量的模，记作|a|或||.（4）零向量：长度为零的向量叫做零向量，记作0；零向量的方向不确定.（5）单位向量：长度为1个长度单位的向量叫做单位向量.（6）共线向量：方向相同或相反的向量叫共线向量，规定零向量与任何向量共线.（7）相等的向量：长度相等且方向相同的向量叫相等的向量.2.向量的加法：（1）定义：求两个向量和的运算，叫做向量的加法.（2）法则：三角形法则；平行四边形法则.（3）运算律：.3.向量的减法：（1）定义：求两个向量差的运算，叫做向量的减法.（2）法则：三角形法则；平行四边形法则.4.实数与向量的积：（1）定义：实数λ与向量的积是一个向量，记作，规定：.当时，的方向与的方向相同；当，的方向与的方向相反；当时，与平行.（2）运算律：λ（μa）=（λμ）a，（λ+μ）a=λa+μa，λ（a+b）=λa+λb.5.向量共线定理：向量b与非零向量a共线的充要条件是有且仅有一个实数λ，使得b=λa，即b∥ab=λa（a≠0）.【基本练习】1.下列命题正确的是（）A.向量与是两平行向量B.若、都是单位向量,则=--1ABCEFDC.若=,则四点构成平行四边形D.两向量相等的充要条件是它们的始点、终点相同答案：A2.设，为已知向量，，则等于（）A．B．C．D．答案：D3.若，，则的值为()A．B．C．D．答案：D4.以下选项中，不是单位向量的有（）①；②；③；④A．1个B．2个C．3个D．4个答案：B5.在下列结论中,正确的结论为（）(1)∥且||=||是=的必要不充分条件(2)∥且||=||是=的既不充分也不必要条件(3)与方向相同且||=||是=的充要条件(4)与方向相反或||≠||是≠的充分不必要条件A.(1)(3)B.(2)(4)C.(3)(4)D.(1)(3)(4)答案：D【例题精讲】例1.设D，E，F分别是△ABC的边BC，CA，AB上的点，且，，．若记，，试用，表示，，．解：，，例2．如图，ABCD是一个梯形，AB∥CD，且AB=2CD，M、N分别是--2DC、AB的中点，已知=,=,试用、分别表示、、。解：连结AC===+=+=-=+-=-=+=++=-=-=-方法归纳：用已知向量表示平面内其他向量是向量线性运算的基本要求，也是平面向量基本定理的基础，主要是根据向量加法和减法及向量数乘运算实现.例3：如图，O是三角形ABC内一点，PQ∥BC，且＝ｔ，＝，＝，＝，求与奎屯王新敞新疆分析：由平面几何的知识可得△APQ∽△ABC，且对应边的比为ｔ，∴，转化向量的关系为：＝，＝，又由于已知和未知向量均以原点O为起点，所以把有关向量都用以原点O为起点的向量来表示，是解决问题的途径所在奎屯王新敞新疆解： PQ∥BC，且，有△APQ∽△ABC，且对应边比为，即．转化为向量的关系有：＝，＝，又由于：＝－，＝－，＝－，＝－奎屯王新敞新疆∴＝＋＝＋（－）＝＋（－）＝（１－）＋ｔ,＝＋＝＋（－）＝（－）＋＝(１－）＋奎屯王新敞新疆例4：已知、是不共线的两个向量，且=，=，若存在，使得=（1-）+.--3BOCQPA求证：三点共线.证明：因为，又=，所以与共线，且有公共点A，即三点共线【反馈练习】1.如图，在平行四边形ABCD中，下列结论中错误的是（）A.＝；B.＋＝；C.－＝；D.＋＝．2.如图1所示，是的边上的中点，则向量()A.B.C.D.3．下列说法中错误的是（）A.向量的长度与向量的长度相等B.任一非零向量都可以平行移动C.若∥，∥，则∥；D.两个有共同起点而且相等的向量，其终点必相同.4．下面给出四个命题：①对于实数m和向量，恒有②对于实数m、n和向量，恒有③若④若，则m=n其中正确的命题个数是（）A、1B、2C、3D、45．已知,则是三点构成三角形的（）A.充分不必要条件B.必要不充分条件...
