高中数学2.2空间向量的运算同步精练北师大版选修2-11.在正方体ABCDA1B1C1D1中，向量表达式-+化简后的结果是()A．B.C.D.2．如图，已知空间四边形ABCD，设M，G分别是BC，CD的中点，则－＋等于()A.B．3C．3D．23．如图，已知PA⊥平面ABC，∠ABC＝120°，PA＝AB＝BC＝1，则PC等于()A.B．1C．2D．44．设A，B，C，D是空间不共面的四点，且满足·＝·＝·＝0，则△BCD为()A．钝角三角形B．锐角三角形C．直角三角形D．不确定5．设e1，e2是空间中两个不共线的向量，已知＝2e1＋ke2，＝e1＋3e2，＝2e1－e2，且A，B，D三点共线，则k的值为()A．2B．3C．－8D．86．已知a，b是两个非零向量，现给出以下命题：①a·b＞0〈a，b〉∈；②a·b＝0〈a，b〉＝；③a·b＜0〈a，b〉∈；④|a·b|＝|a||b|〈a，b〉＝π.其中正确的命题有()A．1个B．2个C．3个D．4个7．在长方体ABCDA1B1C1D1中，若E为矩形ABCD对角线的交点，则＝＋x＋1y中的x，y值应为x＝______，y＝______.8．若|a|＝|b|，且非零向量a，b不平行，则a＋b与a－b所在直线所形成的角的大小是______．9．已知|a＋b|＝2，|a－b|＝3，且cos〈a＋b，a－b〉＝，则|a|＝______，|b|＝______.10．已知四边形ABCD是空间四边形，E，H分别是边AB，AD的中点，F，G分别是边CB，CD上的点，且＝，＝.求证：四边形EFGH是梯形．11．如图所示，在正方体ABCDA1B1C1D1中，O为AC与BD的交点，G为CC1的中点，用向量法证明：A1O⊥平面GBD.2参考答案1.解析：－＋＝＋(＋)＝＋＝.答案：A2.解析：－＋＝＋(－)＝＋＝＋2＝3.答案：B3.解析：∵＝＋＋，∴2＝2＋2＋2＋2·＝1＋1＋1＋2×1×cos60°＝4，∴||＝2.答案：C4.解析：＝＋，＝＋，＝＋，∴cos〈，〉＝＝＞0，∴〈，〉为锐角，同理cos〈，〉＞0，∴∠BCD为锐角，cos〈，〉＞0，∴∠BDC为锐角，即△BCD为锐角三角形．答案：B5.解析：∵＝e1＋3e2，＝2e1－e2，∴＝－＝(2e1－e2)－(e1＋3e2)＝e1－4e2.∵A，B，D三点共线，∴＝λ，∴2e1＋ke2＝λ(e1－4e2)＝λe1－4λe2，∵e1，e2是空间中两个不共线的向量，∴∴k＝－8.答案：C6.解析：利用向量数量积公式可对以上四个命题的真假作出判断．∵a，b为非零向量，∴|a|≠0，|b|≠0.又∵a·b＝|a||b|cos〈a，b〉，且0≤〈a，b〉≤π，于是a·b＞0cos〈a，b〉＞0〈a，b〉∈；a·b＝0cos〈a，b〉＝0〈a，b〉＝；a·b＜0cos〈a，b〉＜0〈a，b〉∈.因此，命题①②③均为真命题．∵|a·b|＝|a||b|cos〈a，b〉|＝1〈a，b〉＝0或π，∴|a·b|＝|a||b|〈a，b〉＝π不正确，即命题④为假命题．故选C.答案：C37.解析：∵＝＋＝＋＋，＝(＋)＝(2＋＋)＝＋＋，∴x＝，y＝.答案：8.解析：如图，作＝a，＝b，以，为邻边作▱OACB，则＝a＋b，＝a－b.又∵|a|＝|b|，∴四边形OACB为菱形，∴⊥，故a＋b与a－b的夹角为.答案：9.解析：由|a＋b|＝2，知a2＋2a·b＋b2＝4.由|a－b|＝3，知a2－2a·b＋b2＝9.故2a2＋2b2＝13，则|a|2＋|b|2＝.①由cos〈a＋b，a－b〉＝＝，得|a|2－|b|2＝.②由①②，得|a|＝2，|b|＝.答案：210.证明：∵E，H分别是AB，AD的中点，∴＝，＝，∴＝－＝－＝(－)＝＝(－)＝＝(－)＝.∴∥，且||＝||≠||.又∵F不在EH上，∴四边形EFGH是梯形．11.证明：设＝a，＝b，＝c，则a·b＝0，b·c＝0，a·c＝0.而＝＋＝＋(＋)＝c＋(a＋b)，4＝－＝b－a，＝＋＝(＋)＋＝(a＋b)－c，所以·＝·(b－a)＝c·(b－a)＋(a＋b)·(b－a)＝c·b－c·a＋(b2－a2)＝(|b|2－|a|2)＝0.所以⊥.所以A1O⊥BD.同理可证⊥，所以A1O⊥OG.又因为OG∩BD＝O，且A1O平面GBD，所以A1O⊥平面GBD.5
