小题标准练(十二)(40分钟80分)一、选择题(本大题共12小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的)1.著名数学家欧拉发现了复数的三角形式:eix=cosx+isinx(其中i为虚数单位,i2=-1),根据这个公式可知,表示的复数在复平面中所对应的点位于()A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限【解析】选B.因为=cosπ+isinπ=cosπ+isinπ=-+i,所以对应的点为在第二象限.2.已知命题p:∀x∈R,x2+x-6<0,则命题p的否命题是()A.∀x∈R,x2+x-6≥0B.∃x∈R,x2+x-6≥0C.∀x∈R,x2+x-6>0D.∃x∈R,x2+x-6<0【解析】选B.全称命题的否定为特称命题,故选B.3.对划艇运动员甲、乙两人在相同的条件下进行了6次测试,测得他们最大速度的数据如下:甲:27,38,30,37,35,31乙:33,29,38,34,28,36根据以上数据,判断他们的优秀情况,结论为()A.甲比乙更优秀B.乙比甲更优秀C.甲、乙一样优秀D.不确定【解析】选B.根据统计知识可知,需要计算两组数据的与s2,然后加以比较,最后再作出判断.=(27+38+30+37+35+31)=33,=(33+29+38+34+28+36)=33,=[(27-33)2+(38-33)2+(30-33)2+(37-33)2+(35-33)2+(31-33)2]=×94.=[(33-33)2+(29-33)2+(38-33)2+(34-33)2+(28-33)2+(36-33)2]=×76.所以=,>,由此可以说明,甲、乙二人的最大速度的平均值相同,但乙比甲的方差小,故乙比甲更优秀.4.执行如图所示的程序框图,若输出的b的值为4,则图中判断框内①处应填()A.2B.3C.4D.5【解析】选A.当a=1时,b=1不满足输出条件,故应执行循环体,执行完循环体后,b=2,a=2;当a=2时,b=2不满足输出条件,故应执行循环体,执行完循环体后,b=4,a=3;当a=3时,b=4满足输出条件,故应退出循环,故判断框内①处应填a≤2.5.在△ABC中,a,b,c分别是角A,B,C所对的边,若cosA+sinA-=0,则的值是()A.1B.C.D.2【解析】选B.由cosA+sinA-=0,得sin·sin=2,即sinsin=1,又≤1,≤1,所以sin=sin=1,A=B=,C=,所以a=b=c,=.6.等差数列{an}中,a3=5,a4+a8=22,则的前20项和为()A.B.C.D.【解析】选B.因为a4+a8=22,a3=5,所以a1+2d=5,2a1+10d=22,解得a1=1,d=2,an=2n-1,又因为==,所以其前20项和Sn=1-+-+…+-=.7.已知tan(α+β)=,tan=,那么tan等于()A.B.C.D.【解析】选C.因为α++β-=α+β,所以α+=(α+β)-,所以tan=tan==.8.已知函数f(x)=x2+bx+c,其中0≤b≤4,0≤c≤4,记函数f(x)满足条件为事件A,则事件A发生的概率为()A.B.C.D.【解析】选C.由题意知,事件A所对应的线性约束条件为其对应的可行域如图中阴影部分所示,所以事件A的概率P(A)==.9.已知x,y均为正实数,且+=,则x+y的最小值为()A.24B.32C.20D.28【解析】选C.方法一:因为+=且x>0,y>0,所以x+y=6[(x+2)+(y+2)]-4=6·2++-4≥6·-4=20(当且仅当x=y=10时取等号).方法二:因为+=,且x>0,y>0,由于[(x+2)+(y+2)]·≥(1+1)2=4.所以x+y+4≥24,x+y≥20,即x+y最小值为20(当且仅当x=y=10时取等号).10.定义函数y=f(x),x∈D,若存在常数C,对任意的x1∈D,存在唯一的x2∈D,使得=C,则称函数f(x)在D上的均值为C.已知f(x)=lgx,x∈[10,100],则函数f(x)=lgx在x∈[10,100]上的均值为()A.B.C.D.10【解析】选A.==C,从而对任意的x1∈[10,100],存在唯一的x2∈[10,100],使得x1x2为常数.充分利用题中给出的常数10,100.令x1x2=10×100=1000,当x1∈[10,100]时,x2=∈[10,100],由此得C==.11.设直线l:2x+y+2=0关于原点对称的直线为l′.若l′与椭圆x2+=1的交点为A、B,点P为椭圆上的动点,则使△PAB的面积为的点P的个数为()A.1B.2C.3D.4【解析】选B.由已知求得l′:2x+y-2=0与椭圆两交点分别为长、短轴端点,其中A(0,2),B(1,0),所以|AB|=.所以顶点P到底边AB的距离h==.设与直线l′平行且距离为的直线l″:2x+y+c=0(c≠-2).由两平行直线间距离公式,得d===.所以c=-1或c=-3.两平行线为2x+y-1=0,2x+y-3=0.联立①②对于方程组①,Δ1>0,直线与椭圆有两个交点.对于方程组②,Δ2<0,直线与椭圆无交点.综上可知,满足题意的点P有2个,如图所示.12.已知函数f(x)=(x2-3)ex,设关于x的方程f2(x)-mf(x)-=0(m∈R)有n个不同的实数解,则n的所有可能的值为()A.3B.1或3C.4或6D.3或4或6【解析】选A.f′(x)=(x-1)(x+3)ex,所以f(x)在(-∞,-3)和(1,+∞)上单调递增,(-3,1)上单调递减,又当x→-∞时f(x)...
