2016届高考数学一轮复习6.8数系的扩充与复数的引入课时作业理湘教版一、选择题1.(2014·陕西师大附中模拟)＝()A．－iB．iC．－1D．1【解析】＝＝＝(－i)2104＝i2014＝i4×503＋2＝－1.【答案】C2．若z＝cosθ＋isinθ(i是虚数单位)，则z2＝－1的θ值可能是()A.B.C.D.【解析】∵z2＝(cosθ＋isinθ)2＝cos2θ－sin2θ＋2isinθcosθ＝cos2θ＋isin2θ＝－1，∴∴θ＝时符合要求，故选D.【答案】D3．(2014·杭州模拟)若复数(a∈R，i是虚数单位)是纯虚数，则实数a的值为()A．－2B．4C．－6D．6【解析】＝＝＋i，∵是纯虚数，∴＝0且≠0，∴a＝－6.【答案】C4．(2014·滨州模拟)已知＝b＋i(a，b∈R)，则a－b＝()A．1B．2C．－1D．－3【解析】a－2i＝bi＋i2＝－1＋bi，∴a＝－1，b＝－2，∴a－b＝1.【答案】A5．设集合M＝{y|y＝|cos2x－sin2x|，x∈R}，N＝，则M∩N为()A．(0，1)B．(0，1]C．[0，1)D．[0，1]【解析】对于集合M，函数y＝|cos2x|，其值域为[0，1]，所以M＝[0，1]．由于＝|－xi|＝|x|，故－1＜x＜1，所以N＝(－1，1)，则M∩N＝[0，1)．【答案】C6．已知复数z1＝x2＋i，z2＝(x2＋a)i，对任意x∈R均有|z1|＞|z2|成立，则实数a的取值范围为()A.B.C.D.【解析】|z1|＝，|z2|＝|x2＋a|，因为|z1|＞|z2|，所以有＞|x2＋a|，即(1－2a)x2＋(1－a2)＞0恒成立．当1－2a＝0，即a＝时，1－＞0恒成立；当时，－1＜a＜.所以a的取值范围是.故选D.【答案】D二、填空题7．已知复数1－2i(其中i为虚数单位)在复平面上对应的点M在直线y＝mx＋n上，其中mn>0，则＋的最大值为________．【解析】m＋n＝－2，＋＝－≤－×4＝－2.【答案】－28．(2013·长沙名校模拟)复数z1＝3＋4i，z2＝0，z3＝c＋(2c－6)i在复平面内对应的点分别为A、B、C，若∠BAC是钝角，则实数c的取值范围为____________．【解析】在复平面内三点坐标分别为A(3，4)，B(0，0)，C(c，2c－6)，由∠BAC是钝角得AB·AC<0，且B、A、C不共线，即(－3，－4)·(c－3，2c－10)<0，解得c>，其中当c＝9时，AC＝(6，8)＝－2AB，三点共线，故c≠9.【答案】9．已知复数z＝x＋yi，且|z－2|＝，则的最大值为________．【解析】由|z－2|＝可得|z－2|2＝(x－2)2＋y2＝3，设＝k，即得直线方程kx－y＝0，∴圆(x－2)2＋y2＝3的圆心(2，0)到直线kx－y＝0的距离d＝≤，解之得k∈[－，]，即得的最大值为.【答案】10．已知正实数a、b使得复数(3＋ai)(4＋bi)为纯虚数，则a＋b的最小值是________，且对应的纯虚数是________．1【解析】∵(3＋ai)(4＋bi)＝12－ab＋(4a＋3b)i为纯虚数，且a>0，b>0，∴ab＝12，∴a＋b≥2＝2＝4，当且仅当a＝b＝＝2时取得最小值(a＋b)min＝4，此时对应的纯虚数为14i.【答案】414i三、解答题11．已知A(1，2)，B(a，1)，C(2，3)，D(－1，b)(a，b∈R)是复平面上的四点，且向量AB，CD对应的复数分别为z1，z2.(1)若z1＋z2＝1＋i，求＋；(2)若z1＋z2为纯虚数，z1－z2为实数，求a、b.【解析】(1)∵AB＝(a，1)－(1，2)＝(a－1，－1)，CD＝(－1，b)－(2，3)＝(－3，b－3)，∴z1＝(a－1)－i，z2＝－3＋(b－3)i，∴z1＋z2＝(a－4)＋(b－4)i，又z1＋z2＝1＋i，∴∴∴z1＝4－i，z2＝－3＋2i，∴＋＝＋＝＋＝＋＝－＋i.(2)由(1)得z1＋z2＝(a－4)＋(b－4)i，z1－z2＝(a＋2)＋(2－b)i，∵z1＋z2为纯虚数，z1－z2为实数，∴∴12．设复数z满足4z＋2z＝3＋i，ω＝sinθ－icosθ，求z的值和|z－ω|的取值范围．【解析】设z＝a＋bi(a，b∈R)，则z＝a－bi.代入4z＋2z＝3＋i，得4(a＋bi)＋2(a－bi)＝3＋i，即6a＋2bi＝3＋i.∴∴z＝＋i.|z－ω|＝＝＝.∵－1≤sin≤1，∴0≤2－2sin≤4.∴0≤|z－ω|≤2，即|z－ω|的取值范围为.13．设z表示复数z的共轭复数，i为虚数单位，a为实数．(1)若使得等式z·z＋2i·z＝3＋ai成立的复数z存在，求实数a的取值范围；(2)若使得等式z·z＋2i·z＝3＋ai成立的复数z有且仅有一个，求出这一复数z.【解析】设复数z＝x＋yi(x，y∈R)，则z＝x－yi.(1)∵z·z＋2i·z＝3＋ai，∴x2＋y2＋2i·(x－yi)＝3＋ai，∴x2＋y2＋2y＋2xi＝3＋ai，注意到x，y，a全为实数，∴∴x＝，代入x2＋y2＋2y＝3，得＝3－y2－2y＝4－(y＋1)2≤4，∴a2≤16，∴所求实数a的取值范围是[－4，4]．(2)由(1)知，这样的z有且仅有一个，则方程组有且仅有唯一解，∴＝3－y2－2y即4y2＋8y＋a2－12＝0有且仅有唯一解，∴a＝±4，对应的y＝－1，即当a＝4时，唯一的一个满足条件的复数z＝2－i；当a＝－4时，唯一的一个满足条件的复数z＝－2－i.2
