第1节数列的概念与简单表示法[A级基础巩固]1．已知数列，，，，，…，则5是它的()A．第19项B．第20项C．第21项D．第22项解析：数列，，，，，…中的各项可变形为，，，，，…，所以通项公式为an＝＝，令＝5，得n＝21.答案：C2．记Sn为数列{an}的前n项和．“任意正整数n，均有an>0”是“{Sn}是递增数列”的()A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件解析：因为“an>0”⇒“数列{Sn}是递增数列”，所以“an>0”是“数列{Sn}是递增数列”的充分条件．如数列{an}为－1，1，3，5，7，9，…，显然数列{Sn}是递增数列，但是an不一定大于零，还有可能小于零，所以“数列{Sn}是递增数列”不能推出“an>0”，所以“an>0”不是“数列{Sn}是递增数列”的必要条件．所以“an>0”是“数列{Sn}是递增数列”的充分不必要条件．答案：A3．已知数列{an}的前n项和为Sn，且a1＝2，an＋1＝Sn＋1(n∈N*)，则S5＝()A．31B．42C．37D．47解析：由题意，得Sn＋1－Sn＝Sn＋1(n∈N*)，所以Sn＋1＋1＝2(Sn＋1)(n∈N*)，故数列{Sn＋1}为等比数列，其首项为3，公比为2，则S5＋1＝3×24，所以S5＝47.答案：D4．在数列{an}中，a1＝2，＝＋ln，则an等于()A．2＋nlnnB．2n＋(n－1)lnnC．2n＋nlnnD．1＋n＋nlnn解析：由题意得－＝ln(n＋1)－lnn，n分别用1，2，3，…，(n－1)取代，累加得－＝lnn－ln1＝lnn，＝2＋lnn，所以an＝2n＋nlnn.答案：C5．(2020·广东广雅中学模拟)在数列{an}中，已知a1＝2，an＋1＝(n∈N*)，则an的表达式为()A．an＝B．an＝C．an＝D．an＝解析：(1)数列{an}中，由a1＝2，an＋1＝(n∈N*)，可得＝3＋，所以数列是首项为，公差为3的等差数列，所以＝＋3(n－1)＝.可得an＝(n∈N*)．答案：B16．(2019·上海卷)已知数列{an}前n项和为Sn，且满足Sn＋an＝2，则S5＝________．解析：n＝1时，S1＋a1＝2，所以a1＝1.n≥2时，由Sn＋an＝2得Sn－1＋an－1＝2，两式相减得an＝an－1(n≥2)，所以{an}是以1为首项，为公比的等比数列，所以S5＝＝.答案：7．(2020·河北省级示范性高中联考)数列{an}满足a1＝3，且对于任意的n∈N*都有an＋1－an＝n＋2，则a39＝________．解析：因为an＋1－an＝n＋2，所以a2－a1＝3，a3－a2＝4，a4－a3＝5，…，an－an－1＝n＋1(n≥2)，上面(n－1)个式子左右两边分别相加得an－a1＝(n≥2)，即an＝(n≥2)，当n＝1时，a1＝3适合上式，所以an＝，n∈N*，所以a39＝＝820.答案：8208．在数列{an}中，a1＝1，对于所有的n≥2，n∈N*，都有a1·a2·a3·…·an＝n2，则a3＋a5＝________．解析：由题意可知，a1·a2·a3·…·an－1＝(n－1)2，所以an＝(n≥2)，所以a3＋a5＝＋＝.答案：9．(2020·天河模拟)已知Sn为数列{an}的前n项和，且a1<2，an>0，6Sn＝a＋3an＋2，n∈N*.(1)求数列{an}的通项公式；(2)若∀n∈N*，bn＝(－1)na，求数列{bn}的前2n项的和T2n.解：(1)当n＝1时，6a1＝a＋3a1＋2，且a1<2，解得a1＝1.当n≥2时，6an＝6Sn－6Sn－1＝a＋3an＋2－(a＋3an－1＋2)．化简得(an＋an－1)(an－an－1－3)＝0，因为an>0，所以an－an－1＝3，所以数列{an}是首项为1，公差为3的等差数列，所以an＝1＋3(n－1)＝3n－2.(2)bn＝(－1)na＝(－1)n(3n－2)2.所以b2n－1＋b2n＝－(6n－5)2＋(6n－2)2＝36n－21.所以数列{bn}的前2n项的和T2n＝36(1＋2＋…＋n)－21n＝36×－21n＝18n2－3n.10．已知各项都为正数的数列{an}满足a1＝1，a－(2an＋1－1)an－2an＋1＝0.(1)求a2，a3；(2)求{an}的通项公式．解：(1)由题意得a2＝，a3＝.(2)由a－(2an＋1－1)an－2an＋1＝0得2an＋1(an＋1)＝an(an＋1)．因为{an}的各项都为正数，所以＝.2故{an}是首项为1，公比为的等比数列，因此an＝.[B级能力提升]11．数列{an}满足a1＝1，对任意n∈N*，都有an＋1＝1＋an＋n，则＋＋…＋＝()A.B．2C.D.解析：由an＋1＝1＋an＋n，得an＋1－an＝n＋1，则an＝(an－an－1)＋(an－1－an－2)＋…＋(a2－a1)＋a1＝n＋(n－1)＋…＋1＝，则＝＝－，则＋＋…＋＝2×[＋＋…＋]＝2×＝.答案：C12．(一题多解)(2020·湛江二模)一元线性同余方程组问题最早可见于中国南北朝时期(约公元5世纪)的数学著作《孙子算经》卷...
