1.2.2基本初等函数的导数公式及导数的运算法则(二)课时过关·能力提升基础巩固1.下列求导正确的是()A.(x+1x)'=1+1x2B.(lgx+x3)'¿1xln10+3x2C.(3x+ln3)'=3xln3+13D.(x2cosx)'=-2xsinx解析:(x+1x)'=1−1x2,¿3x+ln3)'=3xln3,(x2cosx)'=2x·cosx-x2·sinx.答案:B2.已知f(x)=ax3+3x2+2,若f'(-1)=4,则a等于()A.193B.163C.133D.103解析:∵f'(x)=3ax2+6x,∴f'(-1)=3a-6=4.∴a¿103.答案:D3.函数f(x)=(2x+1)2在x=1处的导数值是()A.6B.8C.10D.12答案:D14.曲线y=xlnx在点(1,0)处的切线方程为()A.y=2x+2B.y=2x-2C.y=x-1D.y=x+1解析:∵y=xlnx,∴y'=lnx+1,∴曲线在点(1,0)处的切线的斜率k=y'|x=1=1.故切线方程为y=x-1.答案:C5.若曲线y¿x+1x-1在点¿3,2)处的切线与直线ax+y+1=0垂直,则a等于()A.2B.12C.−12D.-2解析:y¿x+1x-1=1+2x-1,∴y'=−2(x-1)2.∴y'|x=3=−12.∴-a=2.∴a=-2.答案:D6.已知f(x)=sinα-cosx,则f'(α)=.解析:f'(x)=(sinα)'-(cosx)'=0+sinx=sinx,则f'(α)=sinα.答案:sinα7.若f(x)=xe2x,则f'(1)=.解析:∵f(x)=xe2x,∴f'(x)=x'·e2x+x·(e2x)'=e2x+2xe2x.故f'(1)=e2+2e2=3e2.答案:3e228.若直线y=2x-2与曲线y=2lnx+ax相切,则实数a的值为.解析:由已知得y'¿2x+a.设切点为(x0,y0),则{y0=2x0-2,y0=2lnx0+ax0,2x0+a=2,解得a=0.答案:09.已知函数f(x¿=12e2x+a-ln(bx+5),且f(-2¿=12,f'(-32)=e-1.(1)求函数f(x)的解析式;(2)求曲线y=f(x)在x=-2处的切线的倾斜角.解:(1)因为f(x¿=12e2x+a-ln(bx+5),所以f'(x)=e2x+a−bbx+5.由已知得{12ea-4-ln(-2b+5)=12,ea-3-b-32b+5=e-1,解得{a=4,b=2,故f(x¿=12e2x+4-ln(2x+5).(2)由(1)知,f'(x)=e2x+4−22x+5,则f'(-2)=-1,即曲线y=f(x)在x=-2处的切线的斜率等于-1,故其倾斜角等于3π4.能力提升1.已知函数f(x¿=lnxx,则方程f'(x)=0的解为()3A.x=1B.x=eC.x¿1eD.x=0解析:f'(x¿=1x·x-lnxx2=1-lnxx2.∵f'(x)=0,∴1-lnx=0,解得x=e.答案:B2.设f'(x)是定义域为(0,+∞)的函数f(x)的导数,且满足f(x)x+f'¿x)=3x,且f(1)=5,则函数f(x)的解析式为()A.f(x)=x2+4xB.f(x)=4x+1x2C.f(x)=3x2+2xD.f(x)=x3+4解析:由f(x)x+f'¿x)=3x可得f(x)+xf'(x)=3x2,即[xf(x)]'=3x2,于是xf(x)=x3+c,则f(x)=x2+cx.又因为f(1)=5,所以c=4,故f(x)=x2+4x.答案:A3.若函数f(x¿=12f'¿-1)x2-2x+3,则f'(-1)的值为()A.0B.-1C.1D.2解析:∵f(x¿=12f'¿-1)x2-2x+3,∴f'(x)=f'(-1)x-2.∴f'(-1)=f'(-1)×(-1)-2.∴f'(-1)=-1.答案:B4.★若一条曲线上任意一点处的切线的斜率均为正数,则称该曲线为“升曲线”.已知函数f(x)的定义域为R,且满足f'(x)>f(x),则下列曲线是“升曲线”的是()4A.y=xf(x)B.y=exf(x)C.y¿f(x)xD.y¿f(x)ex解析:对于y¿f(x)ex,y'¿[f(x)ex]'=f'(x)ex-f(x)exe2x=f'(x)-f(x)ex.因为f'(x)>f(x),所以f'(x)-f(x)ex>0,即[f(x)ex]'>0,所以曲线y¿f(x)ex上任意一点处的导数均为正数,即该曲线任意一点处的切线的斜率均为正数,故该曲线是“升曲线”.答案:D5.已知函数f(x)=axlnx,x∈(0,+∞),其中a为实数,f'(x)为f(x)的导函数,若f'(1)=3,则a的值为.解析:因为f(x)=axlnx,所以f'(x)=alnx+ax·1x=a¿lnx+1).由f'(1)=3,得a(ln1+1)=3,所以a=3.答案:36.已知y¿sinx1+cosx,x∈(-π,π),则当y'=2时,x=.解析:y'¿(sinx)'(1+cosx)-sinx(1+cosx)'(1+cosx)2¿cosx(1+cosx)-sinx(-sinx)(1+cosx)2¿cosx+cos2x+sin2x(1+cosx)2=cosx+1(1+cosx)2¿11+cosx.令11+cosx=2,则cosx=−12.又x∈(-π,π),故x=±2π3.5答案:±2π37.设函数f(x)=ax3+bx+c(a>0)为奇函数,其图象在点(1,f(1))处的切线与直线x-6y-7=0垂直,导函数f'(x)的最小值是-12,求a,b,c的值.解:∵f(x)是奇函数,∴f(-x)=-f(x),即-ax3-bx+c=-ax3-bx-c,∴c=0.∵f'(x)=3ax2+b的最小值为-12,且a>0,∴b=-12.又f(x)在点(1,f(1))处的切线与直线x-6y-7=0垂直.∴f'(1)=3a+b=-6,∴a=2.综上可得,a=2,b=-12,c=0.8.★已知向量a¿(2cosx2,tan(x2+π4)),b¿(√2sin(x2+π4),tan(x2-π4)),令f(x)=a·b,是否存在实数x∈[0,π],使f(x)+f'(x)=0(其中f'(x)是f(x)的导函数)?若存在,求出x的值;若不存在,请说明理由.分析:先利用向量运算求f(x),再利用三角公式化简f(x),然后求f'(x),最后令f'(x)+f(x)=0即可得答案.解:存在.f(x)=a·b=2√2cosx2·sin(x2+π4)+tan(x2+π4)·tan(x2-π4)=2√2cosx2(√22sinx2+√22cosx2)+1+tanx21-tanx2·tanx2-11+tanx2=2sinx2cosx2+2cos2x2−1=sinx+cosx.令f(x)+f'(x)=0,即f(x)+f'(x)=sinx+cosx+cosx-sinx=2cosx=0,可得x¿π2+kπ¿k为整数).因为x∈[0,π],所以x¿π2,6即存在实数x¿π2∈[0,π],使得f(x)+f'(x)=0.7
