课时作业8二项式系数的性质知识点一与杨辉三角有关的问题1.如下图，在由二项式系数所构成的杨辉三角中，第________行从左至右第14与第15个数之比为2∶3.111121133114641…答案34解析设第n行从左至右第14与第15个数之比为2∶3，则C∶C＝2∶3.∴3C＝2C，即＝，∴n＝34.知识点二二项式系数和的问题2.若n展开式的二项式系数之和为64，则展开式的常数项为()A．10B．20C．30D．120答案B解析由2n＝64，得n＝6，∴Tr＋1＝Cx6－rr＝Cx6－2r(0≤r≤6，r∈N)．由6－2r＝0，得r＝3.∴T4＝C＝20.3．(1＋x)n(3－x)的展开式中各项系数的和为1024，则n的值为()A．8B．9C．10D．11答案B解析由题意知(1＋1)n(3－1)＝1024，即2n＋1＝1024，所以n＝9.故选B.知识点三二项式系数的性质应用4.已知(a＋b)n展开式中只有第5项的二项式系数最大，则n等于()A．11B．10C．9D．8答案D解析 只有第5项的二项式系数最大，∴＋1＝5.∴n＝8.5．已知(1＋2x)2n的展开式中奇次项系数之和等于364，那么展开式中二项式系数最大的项是()A．第3项B．第4项C．第5项D．第6项答案B解析设(1＋2x)2n＝a0＋a1x＋a2x2＋a3x3＋…＋a2n－1x2n－1＋a2nx2n，则展开式中奇次项系数之和就是a1＋a3＋a5＋…＋a2n－1.分别令x＝1，x＝－1，得两式相减，得a1＋a3＋a5＋…＋a2n－1＝.由已知，得＝364，∴32n＝729＝36，即n＝3.(1＋2x)2n＝(1＋2x)6的展开式共有7项，中间一项的二项式系数最大，即第4项的二项式系数最大，选B.6．在二项式n的展开式中，(1)若第5项的二项式系数与第3项的二项式系数的比是14∶3，求展开式中的常数项；(2)若所有奇数项的二项式系数的和为A，所有项的系数和为B，且＝，求展开式中二项式系数最大的项．解(1)依题意C∶C＝14∶3，化简：得(n－2)(n－3)＝56，1解得n＝10或n＝－5(舍去)．∴Tr＋1＝C·x·(3x2)－r＝3－rCx，令＝0得r＝2.∴常数项为第3项，T3＝3－2C＝5.(2)由题意可知，A＝2n－1，B＝n，则＝＝，解得n＝5，展开式中二项式系数最大的项是第3项和第4项，T3＝C()32＝x，T4＝C()23＝x－5.一、选择题1.11的展开式中二项式系数最大的项是()A．第3项B．第6项C．第6、7项D．第5、7项答案C解析11的展开式中第项和＋1项，即第6、7项的二项式系数相等，且最大．2.n的展开式中第8项是常数，则展开式中系数最大的项是()A．第8项B．第9项C．第8项和第9项D．第11项和第12项答案D解析由题意T8＝C()n－7·7＝Cx，故n＝21.则展开式中系数最大的项是第11项和第12项．3．设m为正整数，(x＋y)2m展开式的二项式系数的最大值为a，(x＋y)2m＋1展开式的二项式系数的最大值为b.若13a＝7b，则m等于()A．5B．6C．7D．8答案B解析由二项式系数的性质知：二项式(x＋y)2m的展开式中二项式系数最大值有一项C＝a，二项式(x＋y)2m＋1的展开式中二项式系数最大值有两项C＝C＝b，因此13C＝7C，所以13·＝7·，所以m＝6.故选B.4．若对于任意实数x，有x3＝a0＋a1(x－2)＋a2(x－2)2＋a3(x－2)3，则a2的值为()A．3B．6C．9D．12答案B解析解法一：x3＝[2＋(x－2)]3＝C23＋C22(x－2)＋C2(x－2)2＋C(x－2)3＝8＋12(x－2)＋6(x－2)2＋(x－2)3，∴a2＝6.解法二：右边x2的系数为Ca2＋C(－2)a3＝a2－6a3，右边x3的系数为a3，利用左右两边对应系数相等，得∴a2＝6.故选B.5．(2x－1)10的展开式中x的奇次幂项的系数之和为()A.B.C.D．－答案B解析设(2x－1)10＝a0＋a1x＋a2x2＋…＋a10x10，令x＝1，得1＝a0＋a1＋a2＋…＋a10，再令x＝－1，得310＝a0－a1＋a2－a3＋…－a9＋a10，2两式相减可得，a1＋a3＋…＋a9＝，故选B.二、填空题6．下列关于(a＋b)10的说法：①展开式中的各二项式系数之和为1024；②展开式中第6项的二项式系数最大；③展开式中第5项与第7项的二项式系数最大；④展开式中第6项的系数最小．其中正确说法的个数为________．答案2解析根据二项式系数的性质，知(a＋b)10的展开式中的各二项式系数之和为210＝1024，故说法①正确；(a＋b)10的展开式中，二项式系数最大的项是中间一项，即第6项的二项式系数最大，故说法②正确，说法③错误；易知展开式中各项的系数等于二项式系数，故第6项的系数最大，故说法④错误．7．已知(x＋1)10＝a1＋a2x＋a3x2＋…＋...
