数列的概念及表示方法时间:50分钟总分：70分班级：姓名：一、选择题（共6小题，每题5分，共30分）1.已知数列{an}的通项公式为an＝n2－2λn(n∈N*)，则“λ<1”是“数列{an}为递增数列”的()A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件【答案】A【解析】若数列{an}为递增数列，则an＋1－an>0，即2n＋1>2λ对任意n∈N*都成立，于是有3>2λ，λ<，由λ<1可得λ<；反之由λ<不能得到λ<1，因此“λ<1”是“数列{an}为递增数列”的充分不必要条件.2.已知数列{an}满足a1＝1，an＋1＝则其前6项之和是()A.16B.20C.33D.120【答案】C【解析】a2＝2a1＝2，a3＝a2＋1＝3，a4＝2a3＝6，a5＝a4＋1＝7，a6＝2a5＝14，∴S6＝1＋2＋3＋6＋7＋14＝33.3.下列可作为数列{an}：1，2，1，2，1，2，…的通项公式的是()A.an＝1B.an＝C.an＝2－|sin|D.an＝【答案】C【解析】A项显然不成立；n＝1时，a1＝＝0，故B项不正确；n＝2时，a2＝＝1，故D项不正确.由an＝2－|sin|可得a1＝1，a2＝2，a3＝1，a4＝2，…，故选C.4.已知数列{an}满足a1＝0，an＋1＝(n∈N*)，则a2016等于()A.0B.－C.D.【答案】C【解析】由已知得a1＝0，a2＝－，a3＝，a4＝0，a5＝－＝a2，a6＝a3，…，由此归纳得出an＋3＝an，故a2016＝a3×672＝a3＝，选C.5.在数列{an}中，已知a1＝2，a2＝7，an＋2等于anan＋1(n∈N*)的个位数，则a2013的值是()A.8B.6C.4D.2【答案】C【解析】a1a2＝2×7＝14，∴a3＝4，4×7＝28，∴a4＝8，4×8＝32，∴a5＝2，2×8＝16，∴a6＝6，a7＝2，a8＝2，a9＝4，a10＝8，a11＝2，∴从第三项起，an的值成周期排列，周期数为6，2013＝335×6＋3，∴a2013＝a3＝4.6.下面是关于公差d>0的等差数列{an}的四个命题：p1：数列{an}是递增数列；p2：数列{nan}是递增数列；p3：数列是递增数列；p4：数列{an＋3nd}是递增数列.其中的真命题为()A.p1，p2B.p3，p4C.p2，p3D.p1，p4【答案】D【解析】如数列为{－2，－1，0，1，…}，则1×a1＝2×a2，故p2是假命题；如数列为{1，2，3，…}，则＝1，故p3是假命题.故选D.1二、填空题（共4小题，每题5分，共20分）7.如图所示是一个类似杨辉三角的数阵，则第n(n≥2)行的第2个数为________.【答案】．n2－2n＋3【解析】每行的第2个数构成一个数列{an}，由题意知a2＝3，a3＝6，a4＝11，a5＝18，所以a3－a2＝3，a4－a3＝5，a5－a4＝7，…，an－an－1＝2(n－1)－1＝2n－3，由累加法得an－a2＝＝n2－2n，所以an＝n2－2n＋a2＝n2－2n＋3(n≥2).8.已知正项数列{an}满足a－6a＝an＋1an，若a1＝2，则数列{an}的前n项和为________.【答案】．3n－1【解析】∵a－6a＝an＋1an，∴(an＋1－3an)(an＋1＋2an)＝0，∵an>0，∴an＋1＝3an，又a1＝2，∴{an}是首项为2，公比为3的等比数列，∴Sn＝＝3n－1.9.已知数列{an}的前n项和Sn＝5n－3，则数列{an}的通项公式为an＝________(n∈N*).【答案】．【解析】数列的前n项和Sn＝5n－3，∴当n＝1时，a1＝S1＝5－3＝2，当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝(5n－3)－(5n－1－3)＝4×5n－1.此式中令n＝1，得a1＝4，∴a1不适合an＝4×5n－1(n≥2).故数列的通项公式an＝10.已知数列{an}的通项公式为an＝(n＋2)·，则当an取得最大值时，n等于________.【答案】5或6【解析】由题意知∴解得∴n＝5或6.三、解答题（共2小题，每题10分，共20分）11.已知数列{an}的前n项和Sn＝2an－1，则满足≤2的正整数n的集合为.【答案】{1，2，3，4}.【解析】因为Sn＝2an－1，所以当n≥2时，Sn－1＝2an－1－1，两式相减得an＝2an－2an－1，整理得an＝2an－1，所以{an}是公比为2的等比数列.又因为a1＝2a1－1，所以a1＝1，故an＝2n－1，而≤2，即2n－1≤2n，所以有n∈{1，2，3，4}.12.在数列{an}中，a1＝1，a1＋2a2＋3a3＋…＋nan＝an＋1(n∈N*).(1)求数列{an}的通项an；(2)若存在n∈N*，使得an≤(n＋1)λ成立，求实数λ的最小值.【答案】见解析【解析】(1)当n≥2时，由题可得a1＋2a2＋3a3＋…＋(n－1)an－1＝an.①a1＋2a2＋3a3＋…＋nan＝an＋1，②②－①得nan＝an＋1－an，即(n＋1)an＋1＝3nan，＝3，∴{nan}是以2a2＝2为首项，3为公比的等比数列(n≥2)，2∴nan＝2·3n－2，∴an＝·3n－2(n≥2)，∵a1＝1，∴an＝(2)an≤(n＋1)λ⇔λ≥，由(1)可知当n≥2时，＝，设f(n)＝(n≥2，n∈N*)，则f(n＋1)－f(n)＝<0，∴>(n≥2)，又＝及＝，可得λ≥，∴所求实数λ的最小值为.3
