增分强化练(十八)一、选择题1．已知直线l⊥平面α，直线m∥平面β，若α⊥β，则下列结论正确的是()A．l∥β或l⊂βB．l∥mC．m⊥αD．l⊥m解析：当直线l⊥平面α，α⊥β时，假设l∩β＝A，过A在平面β内作a⊥l，根据面面垂直的性质定理可知：a⊥α，这样过一点A有两条直线a，l与平面α垂直，这与过一点有且只有一条直线与已知平面垂直相矛盾，故假设不成立，所以l∥β或l⊂β，故本题选A.答案：A2．设m，n是两条不同的直线，α，β是两个不同的平面，下列命题中正确的是()A．若m∥α，m∥β，则α∥βB．若m⊥α，m⊥n，则n⊥αC．若m⊥α，m∥n，则n⊥αD．若α⊥β，m⊥α，则m∥β解析：设m，n是两条不同的直线，α，β是两个不同的平面，则：在A中，若m∥α，m∥β，则α与β相交或平行，故A错误；在B中，若m⊥α，m⊥n，则n∥α或n⊂α，故B错误；在C中，若m⊥α，m∥n，则由线面垂直的判定定理得n⊥α，故C正确；在D中，若α⊥β，m⊥α，则m∥β或m⊂β，故D错误．故选C.答案：C3．(2019·蚌埠模拟)如图，在长方体ABCDA1B1C1D1中，AB＝BC＝2AA1＝2，E，F分别在AB，BC上，则下列说法错误的是()A．直线AD与A1C1所成的角为B．当E为中点时，平面A1D1E⊥平面B1C1EC．当E，F为中点时，EF⊥BD1D．当E，F为中点时，BD1⊥平面B1EF解析：对于A选项，将A1C1平移到AC如图所示，由于四边形ABCD为正方形，故AD，AC所成角为，也即AD，A1C1所成角为，故A选项正确．对于B选项，由于A1E＝B1E＝，A1B1＝2，满足勾股定理，故A1E⊥B1E，而A1E⊥B1C1，故A1E⊥平面B1C1E，所以平面A1D1E⊥平面B1C1E，故B选项正确．对于C选项，由于EF∥AC，故EF⊥BD，EF⊥BB1，由此证得EF⊥平面BDD1B1，故EF⊥BD1，故C选项正确．对于D选项，虽然EF⊥BD1，但是BD1与B1E，B1F不垂直，故D选项说法错误．综上所述，本小题选D.答案：D4．(2019·咸阳模拟)在正方体ABCDA1B1C1D1中，E、F分别是AB、B1C1的中点，则异面直线A1E、FC所成角的余弦值为()A.B.C.D.解析：取C1D1的中点G，连接CG，FG(图略)，因为正方体ABCDA1B1C1D1，且E，G分别是AB，C1D1的中点，所以A1E∥CG，所以∠FCG即为异面直线A1E、FC所成角或其补角，设正方体边长为2，则FC＝CG＝，FG＝，在△FCG中由余弦定理得cos∠FCG＝＝，所以异面直线A1E、FC所成角的余弦值为，故选D.答案：D5．如图，在四棱柱ABCDA1B1C1D1中，E，F分别是AB1、BC1的中点，下列结论中，正确的是()A．EF⊥BB1B．EF⊥平面BCC1B1C．EF∥平面D1BCD．EF∥平面ACC1A1解析：连接B1C交BC1于F，由于四边形BCC1B1是平行四边形，对角线平分，故F是B1C的中点．因为E是AB1的中点，所以EF是△B1AC的中位线，故EF∥AC，所以EF∥平面ACC1A1.故选D.答案：D6．如图，边长为2的正方形ABCD中，点E、F分别是AB、BC的中点，将△ADE，ΔBEF，△CDF分别沿DE，EF，FD折起，使得A、B、C三点重合于点A′，若四面体A′EDF的四个顶点在同一个球面上，则该球的表面积为()A．5πB．6πC．8πD．11π解析：由题意可知△A′EF是等腰直角三角形，且A′D⊥平面A′EF.三棱锥的底面A′EF扩展为边长为1的正方形，然后扩展为正四棱柱，三棱锥的外接球与正四棱柱的外接球是同一个球，正四棱柱的体对角线的长度就是外接球的直径，直径为＝.∴球的半径为，∴球的表面积为4π·2＝6π.故选B.答案：B二、填空题7．在直三棱柱ABCA1B1C1中，若∠BAC＝90°，AB＝AC＝AA1则异面直线BA1与AC1所成的角等于________．解析：延长CA到D(图略)，使得AD＝AC，则ADA1C1为平行四边形，∠DA1B就是异面直线BA1与AC1所成的角，又A1D＝A1B＝DB＝AB，则△A1DB为等边三角形，∴∠DA1B＝60°.答案：60°8．(2019·桂林、崇左模拟)在大小为75°的二面角αlβ内有一点M到两个半平面的距离分别为1和，则点M到棱l的距离等于________．解析：由题意，设垂足分别为A，B，则在△MAB中，MA＝1，MB＝，∠AMB＝105°，∴AB2＝1＋2－2×1××cos∠AMB＝2＋，∴AB＝.设M到棱的距离为l，则l＝＝＝2.答案：2三、解答题9．(2019·汕头模拟)如图，等边△PAC所在平面与梯形ABCD所在平面互相垂直，且有AD∥BC，AB＝AD＝DC＝2，BC＝4.(1)证明：AB⊥平面PAC；(2)求点D到平面PAB...
