4.2数列求和与综合应用【课时作业】A级1．设Sn为等差数列{an}的前n项和，若a1＝1，公差d＝2，Sk＋2－Sk＝24，则正整数k＝()A．8B．7C．6D．5解析：因为Sk＋2－Sk＝24，所以ak＋1＋ak＋2＝24，所以a1＋kd＋a1＋(k＋1)d＝24，所以2a1＋(2k＋1)d＝24，所以2×1＋(2k＋1)×2＝24，解得k＝5.答案：D2．若数列{an}满足a1＝15，且3an＋1＝3an－2，则使ak·ak＋1＜0的k值为()A．22B．21C．24D．23解析：因为3an＋1＝3an－2，所以an＋1－an＝－，所以数列{an}是首项为15，公差为－的等差数列，所以an＝15－·(n－1)＝－n＋，令an＝－n＋＞0，得n＜23.5，所以使ak·ak＋1＜0的k值为23.答案：D3．等比数列{an}的前n项和为Sn＝a·3n－1＋b，则＝()A．－3B．－1C．1D．3解析：因为等比数列{an}的前n项和为Sn＝a·3n－1＋b，所以a1＝S1＝a＋b，a2＝S2－S1＝3a＋b－a－b＝2a，a3＝S3－S2＝9a＋b－3a－b＝6a，因为等比数列{an}中，a＝a1a3，所以(2a)2＝(a＋b)×6a，解得＝－3.答案：A4．各项均为正数的数列{an}的前n项和为Sn，且3Sn＝anan＋1，则2k＝()A.B．C.D．解析：当n＝1时，3S1＝a1a2，即3a1＝a1a2，∴a2＝3，当n≥2时，由3Sn＝anan＋1，可得3Sn－1＝an－1an，两式相减得，3an＝an(an＋1－an－1)，又an≠0，∴an＋1－an－1＝3，∴{a2n}是以3为首项，3为公差的等差数列，∴2k＝a2＋a4＋a6＋…＋a2n＝3n＋×3＝.答案：B5．(2018·郑州市第一次质量测试)已知数列{an}的前n项和为Sn，a1＝1，a2＝2，且an＋2－2an＋1＋an＝0(n∈N*)，记Tn＝＋＋…＋(n∈N*)，则T2018＝()A.B．C.D．解析：由an＋2－2an＋1＋an＝0(n∈N*)，可得an＋2＋an＝2an＋1，所以数列{an}为等差数列，公差d＝a2－a1＝2－1＝1，通项公式an＝a1＋(n－1)×d＝1＋n－1＝n，则其前n项和Sn＝＝，所以＝＝2，Tn＝＋＋…＋＝2＝2＝，故T2018＝＝，故选C.答案：C6．设数列{an}的前n项和为Sn，且Sn＝，若a4＝32，则a1＝________.解析：因为Sn＝，a4＝32，即S4－S3＝32.所以－＝32，所以a1＝.答案：7．已知函数f(n)＝且an＝f(n)＋f(n＋1)，则a1＋a2＋…＋a100＝________.解析：a1＋a2＋…＋a100＝[f(1)＋f(2)]＋[f(2)＋f(3)]＋[f(3)＋f(4)]＋…＋[f(99)＋f(100)]＋[f(100)＋f(101)]＝f(101)－f(1)＋2[f(1)＋f(2)＋f(3)＋f(4)＋…＋f(99)＋f(100)]＝(1012－1)＋2(12－22＋32－42＋…＋992－1002)＝10200－2(3＋7＋11＋…＋199)＝100.答案：1008．已知数列{an}的通项公式an＝log2(n∈N*)，设其前n项和为Sn，则使Sn<－4成立的最小自然数n的值为________．解析：因为an＝log2，所以Sn＝log2＋log2＋log2＋…＋log2＝log2＝log2，若Sn<－4，则<，即n>15，则使Sn<－4成立的最小自然数n的值为16.答案：169．已知数列{an}中，a1＝3，{an}的前n项和Sn满足：Sn＋1＝an＋n2.(1)求数列{an}的通项公式；(2)设数列{bn}满足：bn＝(－1)n＋2an，求{bn}的前n项和Tn.解析：(1)由Sn＋1＝an＋n2①，得Sn＋1＋1＝an＋1＋(n＋1)2②，由②－①得an＝2n＋1.所以数列{an}的通项公式为an＝2n＋1.(2)由(1)得bn＝(－1)n＋22n＋1，所以Tn＝b1＋b2＋…＋bn＝[(－1)＋(－1)2＋…＋(－1)n]＋(23＋25＋…＋22n＋1)＝＋＝＋(4n－1)＝＋－.10．设数列{an}的前n项和为Sn，且点(n，Sn)(n∈N*)在函数y＝－的图象上．(1)求数列{an}的通项公式；(2)设bn＝，求数列{bn}的前n项和Tn.解析：(1)因为点(n，Sn)(n∈N*)在函数y＝－的图象上，所以3n2－n＝2Sn，①所以当n≥2时，3(n－1)2－(n－1)＝2Sn－1，②由①－②，得6n－4＝2an，所以an＝3n－2.因为n＝1时，3×12－1＝2a1，所以a1＝1，符合上式，所以数列{an}的通项公式为an＝3n－2.(2)因为bn＝＝＝，则Tn＝＋＋＋…＋，③3Tn＝1＋＋＋…＋，④由④－③，得2Tn＝1＋＋＋…＋－＝－＝－，所以Tn＝－－＝－.B级1．《张邱建算经》是中国古代数学史上的杰作，该书中有首古民谣记载了一数列问题：“南山一棵竹，竹尾风割断，剩下三十节，一节一个圈．头节高五寸①，头圈一尺三②.逐节多三分③，逐圈少分三．④一蚁往上爬，遇圈则绕圈．爬到竹子顶，行程是多远？”(注释：①第一节的高度为0.5尺；②第一圈的周长为1.3尺；③每节比其下面的一节...
