3.1.1空间向量及其线性运算[基础达标]给出下列命题：①将空间中所有的单位向量的起点移到同一个点，则它们的终点构成一个圆；②零向量没有方向；③空间中任意两个单位向量必相等．其中假命题的个数是__________．答案：3化简：(AB－CD)－(AC－BD)＝__________．解析：法一：将向量减法转化为向量加法进行化简．(AB－CD)－(AC－BD)＝AB－CD－AC＋BD＝AB＋DC＋CA＋BD＝(AB＋BD)＋(DC＋CA)＝AD＋DA＝0.法二：利用AB－AC＝CB，DC－DB＝BC进行化简．(AB－CD)－(AC－BD)＝AB－CD－AC＋BD＝(AB－AC)＋(DC－DB)＝CB＋BC＝0.法三：利用MN＝ON－OM的关系进行化简．设O为平面内任意一点，则有(AB－CD)－(AC－BD)＝AB－CD－AC＋BD＝(OB－OA)－(OD－OC)－(OC－OA)＋(OD－OB)＝OB－OA－OD＋OC－OC＋OA＋OD－OB＝0.答案：0已知正方体ABCD－A′B′C′D′的中心为O，则下列命题中正确的共有________个．①OA＋OD与OB′＋OC′是一对相反向量；②OB－OC与OA′－OD′是一对相反向量；③OA′－OA与OC－OC′是一对相反向量；④OA＋OB＋OC＋OD与OA′＋OB′＋OC′＋OD′是一对相反向量．解析：如图，对于①，OA＋OD＝C′O＋B′O＝－(OB′＋OC′)，故①正确；对于②，OB－OC＝CB，OA′－OD′＝D′A′，因CB＝DA，故②不正确；对于③，OA′－OA＝AA′，OC－OC′＝C′C，因AA′＝－C′C，故③正确；对于④，OA＋OB＋OC＋OD＝C′O＋D′O＋A′O＋B′O＝－(OA′＋OB′＋OC′＋OD′)，故④正确．答案：3如图所示，在平行六面体ABCD－A1B1C1D1中，M为AC与BD的交点，若A1B1＝a，A1D1＝b，A1A＝c，则下列向量中与B1M为相反向量的是________．(填序号)①－a＋b＋c；②a＋b＋c；③a－b－c；④－a－b＋c.解析：因为B1M＝B1B＋BM＝A1A＋(BA＋BC)＝c＋(－a＋b)＝－a＋b＋c，所以与B1M为相反向量的是a－b－c.答案：③四面体O－ABC中，OA＝a，OB＝b，OC＝c，D为BC的中点，E为AD的中点，则OE＝________(用a，b，c表示)．1解析：如图所示：由三角形法则，得AB＝OB－OA＝b－a，BC＝OC－OB＝c－b，所以BD＝BC＝(c－b)，AD＝AB＋BD＝b＋c－a，故AE＝AD＝b＋c－a，所以OE＝OA＋AE＝a＋b＋c.答案：a＋b＋c已知点G是正方形ABCD的中心，P是正方形ABCD所在平面外一点，则PA＋PB＋PC＋PD等于________．解析：PA＋PC＝2PG，PB＋PD＝2PG，所以PA＋PB＋PC＋PD＝4PG.答案：4PG在平行六面体ABCD－A1B1C1D1中，设AB＝a，AD＝b，AA1＝c，则向量D1B可用a，b，c表示为__________．解析：如图，D1B＝－BD1＝－(BA＋BC＋BB1)＝AB－BC－BB1＝AB－AD－AA1＝a－b－c.答案：a－b－c如图，四棱柱的上底面ABCD中，AB＝DC，下列向量相等的一组是__________(填序号)．①AD与CB；②OA与DC；③AC与DB；④DO与OB.解析： AB＝DC，∴|AB|＝|DC|，且AB∥DC.即四边形ABCD为平行四边形，由平行四边形的性质知DO＝OB.答案：④如图，在空间四边形A－BCD中，点M、G分别是BC、CD的中点．化简：(1)AB＋(BC＋BD)；(2)AG－(AB＋AC)．解：(1)原式＝AB＋BM＋MG＝AG；(2)原式＝AB＋BM＋MG－(AB＋AC)＝BM＋MG＋(AB－AC)＝BM＋MG＋MB＝MG.已知四面体ABCD中，G为△BCD的重心，E、F、H分别为边CD、AD和BC的中点，化简下列各式：(1)AG＋BE＋CA；(2)(AB＋AC－AD)．解：2(1)如图所示，由G是△BCD的重心知，GE＝BE.又E、F为中点，∴EFAC，CA＝EF.∴AG＋BE＋CA＝AG＋GE＋EF＝AF.(2)由向量加法的平行四边形法则及几何意义知(AB＋AC)＝AH，AD＝AF，∴(AB＋AC－AD)＝AH－AF＝FH.[能力提升]如图，平行六面体ABCD－A1B1C1D1中，E、F分别在B1B和D1D上，且BE＝BB1，DF＝DD1，若EF＝xAB＋yAD＋zAA1，则x＋y＋z＝__________．解析：在平行六面体ABCD－A1B1C1D1中，有AA1＝BB1＝CC1，于是EF＝AF－AE＝(AD＋DF)－(AB＋BE)＝－AB＋AD＋DD1－BB1＝－AB＋AD＋AA1，又EF＝xAB＋yAD＋zAA1，∴x＝－1，y＝1，z＝，∴x＋y＋z＝.答案：已知空间四边形ABCD，E，F分别是AB与AD边上的点，M，N分别是BC与CD边上的点，若AE＝λAB，AF＝λAD，CM＝μCB，CN＝μCD，则向量EF与MN的关系为________．解析：AE－AF＝λAB－λAD＝λDB，即FE＝λDB，同理NM＝μDB，因为μDB∥λDB，所以FE∥NM，即EF∥MN.又λ与μ不一...
