高中数学三角形“心”的应用梁克强三角形的外心、内心、重心、垂心，以及正三角形的中心与解析几何有关图形的性质有机地结合，可拓宽应用的范围，使很多解析几何问题能简单明快地解决。下面先从一道高考题谈起。例1.如图1，已知双曲线的中心在原点，右顶点为A（1，0），点P、Q在双曲线的右支上，点M（m，0）到直线AP的距离为1，当时，ΔAPQ的内心恰好是点M，求此双曲线方程。解：设双曲线方程为由得因为M是ΔAPQ的内心，M到直线AP的距离为1所以∠MAP＝45°AM是∠PAQ的平分线且M到AQ、PQ的距离均为1因此所以直线，直线解得代入得故所求双曲线的方程为点评：这是04年高考题，得分率不高。有些同学对“内心”的概念的理解就很含糊，更别提与圆锥曲线的性质有机结合了。所以加强有关三角形的“心”的相关训练是很有必要的。例2.已知抛物线的通径为AB，P是抛物线上非A、B的动点，分别过A、B作AP、BP的垂线相交于M点，求M点的轨迹方程。解：如图2，A、P、B、M四点共圆，圆心就是PM的中点C，即ΔAPB的外心，故C在线段AB的垂直平分线，即x轴上。用心爱心专心设M（x，y），P（x0，y0），则而A（1，2）所以将<1>代入上式得将<1>和<2>代入抛物线方程，得整理得由P与A、B不重合，可知所以M点的轨迹方程为例3.已知锐角ΔABC的顶点A为动点，底边BC为定线段，它与高AD的长均为2a，求ΔABC的垂心H的轨迹方程。解：以BC中点O为原点，直线BC为x轴，建立直角坐标系。设B（－a，0），C（a，0），A（x，2a），垂心H（x，y）由垂心的定义，知BH⊥AC即得由于ΔABC是锐角三角形所以垂心H的轨迹方程是例4.如图3，已知在ΔABC边上作匀速运动的三点D、E、F，在时刻t＝0时，分别从A、B、C出发，各以一定速度分别向B、C、A前进，在时刻t＝1时到达B、C、A。试证在运动过程中，ΔDEF的重心不变。用心爱心专心分析：设A（x1，y1），B（x2，y2），C（x3，y3）因为在同一时刻，D、E、F分别于所在的位置分有向线段的比相同，所以利用定比分点坐标公式可以求得由重心公式得，ΔDEF的重心G的坐标为即D、E、F在运动过程中，ΔDEF的重心不变。用心爱心专心
