第3讲等比数列1．(2019年新课标Ⅲ)已知各项均为正数的等比数列{an}的前4项和为15，且a5＝3a3＋4a1，则a3＝()A．16B．8C．4D．22．(2019年河北衡水中学调研)等比数列{an}的前n项和为Sn，已知a2a5＝2a3，且a4与2a7的等差中项为，则S5＝()A．29B．31C．33D．363．设首项为1，公比为的等比数列{an}的前n项和为Sn，则()A．Sn＝2an－1B．Sn＝3an－2C．Sn＝4－3anD．Sn＝3－2an4．各项均为正数的等比数列{an}的前n项和为Sn，若Sn＝2，S3n＝14，则S4n等于()A．80B．30C．26D．165．古代数学著作《九章算术》有如下问题：“今有蒲生一日，长三尺；莞生一日，长一尺．蒲生日自半，莞生日自倍．问几何日而长等？”意思是：“今有蒲草生长第一天，长为3尺；莞生长第一天，长为1尺．以后蒲的生长长度逐天减半，莞的生长长度逐天加倍．问几天后蒲的长度与莞的长度相等？”(结果保留一位小数，参考数据：lg2≈0.30，lg3≈0.48)()A．1.3日B．1.5日C．2.6日D．3.0日6．(多选)设等比数列{an}的公比为q，其前n项和为Sn，前n项积为Tn，并且满足条件a1>1，a6a7>1，<0，则下列结论正确的是()A．01C．Sn的最大值为S7D．Tn的最大值为T67．(2017年北京)若等差数列{an}和等比数列满足a1＝b1＝－1，a4＝b4＝8，则＝__________.8．(2019年安徽皖江名校联考)已知Sn是各项均为正数的等比数列{an}的前n项和，若a2·a4＝16，S3＝7，则a8＝________.9．(2017年福建漳州质检)设{an}是由正数组成的等比数列，Sn是{an}的前n项和．已知a2a4＝16，S3＝28，则a1a2…an最大时，n的值为________．10．(2016年新课标Ⅰ)已知{an}是公差为3的等差数列，数列{bn}满足b1＝1，b2＝，anbn＋1＋bn＋1＝nbn.(1)求{an}的通项公式；(2)求{bn}的前n项和．11．(2018年新课标Ⅲ)在等比数列{an}中，a1＝1，a5＝4a3.(1)求{an}的通项公式；(2)记Sn为{an}的前n项和．若Sm＝63，求m.12．(2018年北京)设{an}是等差数列，且a1＝ln2，a2＋a3＝5ln2.(1)求{an}的通项公式；(2)求ea1＋ea2＋…＋ean.第3讲等比数列1．C解析：设正数的等比数列{an}的公比为q，则解得∴a3＝a1q2＝4，故选C.2．B解析：由a2a5＝a3a4＝2a3，得a4＝2.又a4＋2a7＝2×，∴a7＝.又∵a7＝a4q3，∴q＝，∴a1＝16，∴S5＝＝31.故选B.3．D解析：方法一，在等比数列{an}中，Sn＝＝＝3－2an.方法二，在等比数列{an}中，a1＝1，q＝，∴an＝1×n－1＝n－1.∴Sn＝＝3＝3＝3－2an.4．B解析：由题意知公比大于0，由等比数列性质知Sn，S2n－Sn，S3n－S2n，S4n－S3n，…仍为等比数列．设S2n＝x，则2，x－2,14－x成等比数列．由(x－2)2＝2×(14－x)，解得x＝6或x＝－4(舍去)．∴Sn，S2n－Sn，S3n－S2n，S4n－S3n，…是首项为2，公比为2的等比数列．又∵S3n＝14，∴S4n＝14＋2×23＝30.故选B.5．C解析：设n天后的长度相等，由题意可知蒲的长度是首项为3，公比为的等比数列；莞的长度是首项为1，公比为2的等比数列．利用等比数列的前n项和公式，得＝，解得n＝log26＝≈2.6.6．AD7．1解析：设等差数列{an}的公差为d，等比数列{bn}的公比为q，由a4＝b4＝8，得－1＋3d＝－q3＝8.解得q＝－2，d＝3.则＝＝1.8．128解析：∵a2·a4＝a＝16，∴a3＝4(负值舍去)，∵a3＝a1q2＝4，S3＝7，∴q≠1，S2＝＝＝3，∴3q2－4q－4＝0，解得q＝－或q＝2，∵an>0，∴q＝－舍去，∴q＝2，∴a1＝1，∴a8＝27＝128.9．4或5解析：由题意知a3＝＝＝4，设等比数列的公比为q(q>0)，则由S3＝28知a1＋a2＝24，即＋＝24，解得q＝，∴an＝a3·qn－3＝4·n－3＝n－5＝25－n，当n＝5时an＝1，当n≥6时an<1，∴a1a2…an最大时n＝4或5.10．解：(1)由a1b2＋b2＝b1，b1＝1，b2＝，得a1＝2.∴数列{an}是首项为2，公差为3的等差数列，通项公式为an＝3n－1.(2)由(1)和anbn＋1＋bn＋1＝nbn，得bn＋1＝.因此{bn}是首项为1，公比为的等比数列．记{bn}的前n项和为Sn，则Sn＝＝－.11．解：(1)设{an}的公比为q，由题设，得an＝qn－1.由已知，得q4＝4q2，解得q＝0(舍去)，q＝－2或q＝2.故an＝(－2)n－1或an＝2n－1.(2)若an＝(－2)n－1，则Sn＝.由Sm＝63，得(－2)m＝－188，此方程没有正整数解．若an＝2n－1，则Sn＝2n－1.由Sm＝63，得2m＝64，解得m＝6.综上所述，m＝6.12．解：(1)设等差数列{an}的公差为d，∵a2＋a3＝5ln2，∴2a1＋3d＝5ln2.又a1＝ln2，∴d＝ln2.∴an＝a1＋(n－1)d＝nln2.(2)由(1)，知an＝nln2，∴e＝enln2＝eln2n＝2n.∴{e}是以2为首项，2为公比的等比数列．∴e＋e＋…＋e＝eln2＋e＋…＋e＝2＋22＋…＋2n＝2n＋1－2.∴e＋e＋…＋e＝2n＋1－2.
