高考数学 专题23 等差数列及其前n项热点题型和提分秘籍 理-人教版高三全册数学试题VIP专享VIP免费

专题23等差数列及其前n项1．理解等差数列的概念2．掌握等差数列的通项公式与前n项和公式3．能在具体的问题情境中识别数列的等差关系，并能用有关知识解决相应的问题4．了解等差数列与一次函数、二次函数的关系热点题型一等差数列的基本运算例1、已知等差数列{an}中，a1＝1，a3＝－3。(1)求数列{an}的通项公式；(2)若数列{an}的前k项和Sk＝－35，求k的值。【提分秘籍】等差数列运算问题的通性通法(1)等差数列运算问题的一般求法是设出首项a1和公差为d，然后由通项公式或前n项和公式转化为方程(组)求解。(2)等差数列的通项公式及前n项和公式，共涉及五个量a1，an，d，n，Sn，知其中三个就能求另外两个，体现了方程的思想。【举一反三】已知等差数列{an}满足a2＋a4＝4，a3＋a5＝10，则它的前10项的和S10＝()A．85B．135C．95D．23解析：设等差数列{an}的首项为a1，公差为d，则解得∴S10＝10×(－4)＋×3＝95。答案：C热点题型二等差数列的判定与证明例2、若数列{an}的前n项和为Sn，且满足an＋2SnSn－1＝0(n≥2)，a1＝。(1)求证：{}成等差数列；(2)求数列{an}的通项公式。【提分秘籍】等差数列的四个判定方法(1)定义法：证明对任意正整数n都有an＋1－an等于同一个常数。(2)等差中项法：证明对任意正整数n都有2an＋1＝an＋an＋2后，可递推得出an＋2－an＋1＝an＋1－an＝an－an－1＝an－1－an－2＝…＝a2－a1，根据定义得出数列{an}为等差数列。(3)通项公式法：得出an＝pn＋q后，得an＋1－an＝p对任意正整数n恒成立，根据定义判定数列{an}为等差数列。(4)前n项和公式法：得出Sn＝An2＋Bn后，根据Sn，an的关系，得出an，再使用定义法证明数列{an}为等差数列。提醒：等差数列主要的判定方法是定义法和等差中项法，而对于通项公式和前n项和公式的方法主要适合在选择题或填空题中简单判。【举一反三】设数列{an}中，Sn是数列{an}的前n项和，a1＝1，且an＝(n≥2)。证明数列{}是等差数列，并求Sn。热点题型三等差数列的性质及其应用例3．设Sn为等差数列{an}的前n项和，S8＝4a3，a7＝－2，则a9＝()A．－6B．－4C．－2D．2(2)在等差数列{an}中，前m项的和为30，前2m项的和为100，则前3m项的和为__________。解析：(1)S8＝4a3⇒＝4a3⇒a3＋a6＝a3，∴a6＝0，∴d＝－2，∴a9＝a7＋2d＝－2－4＝－6。(2)记数列{an}的前n项和为Sn，由等差数列前n项和的性质知Sm，S2m－Sm，S3m－S2m成等差数列，则2(S2m－Sm)＝Sm＋(S3m－S2m)，又Sm＝30，S2m＝100，所以S2m－Sm＝100－30＝70，所以S3m－S2m＝2(S2m－Sm)－Sm＝110，所以S3m＝110＋100＝210。答案：(1)A(2)210【提分秘籍】(1)等差数列通项性质的应用要注意观察数列各项的项数之间“和”相等的关系，找到解题的切入点。(2)等差数列前n项和性质的应用要注意深刻理解“依次k项之和成等差数列”的真正含义，然后列方程求解。【举一反三】在等差数列{an}中。若共有n项，且前四项之和为21，后四项之和为67，前n项和Sn＝286，则n＝__________。解析：依题意知a1＋a2＋a3＋a4＝21，an＋an－1＋an－2＋an－3＝67。由等差数列的性质知a1＋an＝a2＋an－1＝a3＋an－2＝a4＋an－3，∴4(a1＋an)＝88，∴a1＋an＝22。又Sn＝，即286＝，∴n＝26。答案：26热点题型四等差数列前n项和的最值例4、已知数列{an}满足2an＋1＝an＋an＋2(n∈N*)，它的前n项和为Sn，且a3＝10，S6＝72。若bn＝an－30，求数列{bn}的前n项和的最小值。【提分秘籍】若{an}是等差数列，求前n项和的最值时，①若a1＞0，d＜0，且满足前n项和Sn最大；②若a1＜0，d＞0，且满足前n项和Sn最小；③除上面方法外，还可将{an}的前n项和的最值问题看作Sn关于n的二次函数问题，利用二次函数的图象或配方法求解。【举一反三】设等差数列{an}的前n项和为Sn，已知a3＝12，S12＞0，S13＜0。(1)求公差d的取值范围；(2)指出S1、S2、…、S12中哪一个值最大，说明理由。解析：(1)由得－＜d＜－3。(2) S12＝6(a1＋a12)＝6(a6＋a7)＞0，S13＝＝13a7＜0，∴a6＞0且a7＜0，故S6最大。1.【2017课标1，理4】记为等差数列的前项和．若，，则的公差为A．1B．2C．4D．8【答案】C2.【2017课标1，理12】几位大学生响应国家的创业号召...