高考数学一轮复习 第五章 数列 5.2 等差数列及其前n项和考向归纳-人教版高三全册数学试题VIP专享VIP免费

等差数列及其前n项和考向1等差数列的基本运算1．(2015·重庆高考)在等差数列{an}中，若a2＝4，a4＝2，则a6＝()A．－1B．0C．1D．6【解析】 {an}为等差数列，∴2a4＝a2＋a6，∴a6＝2a4－a2，即a6＝2×2－4＝0.【答案】B2．(2015·陕西高考)中位数为1010的一组数构成等差数列，其末项为2015，则该数列的首项为__________．【解析】设数列首项为a1，则＝1010，故a1＝5.【答案】51．等差数列运算问题的通性通法(1)等差数列运算问题的一般求法是设出首项a1和公差d，然后由通项公式或前n项和公式转化为方程(组)求解．(2)等差数列的通项公式及前n项和公式，共涉及五个量a1，an，d，n，Sn，知其中三个就能求另外两个，体现了用方程的思想解决问题．2．等差数列前n项和公式的应用方法根据不同的已知条件选用两个求和公式，如已知首项和公差，则使用公式Sn＝na1＋d，若已知通项公式，则使用公式Sn＝.考向2等差数列的判定与证明(1)设an＝(n＋1)2，bn＝n2－n(n∈N*)，则下列命题中不正确的是()A．{an＋1－an}是等差数列B．{bn＋1－bn}是等差数列C．{an－bn}是等差数列D．{an＋bn}是等差数列(2)(2014·全国卷Ⅰ)已知数列{an}的前n项和为Sn，a1＝1，an≠0，anan＋1＝λSn－1，其中λ为常数．①证明：an＋2－an＝λ；②是否存在λ，使得{an}为等差数列？并说明理由．【解析】(1)对于A， an＝(n＋1)2，∴an＋1－an＝(n＋2)2－(n＋1)2＝2n＋3，设cn＝2n＋3，∴cn＋1－cn＝2.∴{an＋1－an}是等差数列．故A正确．对于B， bn＝n2－n(n∈N*)，∴bn＋1－bn＝2n，设cn＝2n，∴cn＋1－cn＝2，∴{bn＋1－bn}是等差数列．故B正确．对于C， an＝(n＋1)2，bn＝n2－n(n∈N*)，∴an－bn＝(n＋1)2－(n2－n)＝3n＋1，设cn＝an－bn＝3n＋1，∴cn＋1－cn＝3，∴{an－bn}是等差数列．故C正确．对于D，an＋bn＝2n2＋n＋1，设cn＝an＋bn，cn＋1－cn不是常数．故D错误．【答案】D(2)①证明：由题设知anan＋1＝λSn－1，an＋1an＋2＝λSn＋1－1，两式相减得an＋1(an＋2－an)＝λan＋1，由于an＋1≠0，所以an＋2－an＝λ.②由题设知a1＝1，a1a2＝λS1－1，可得a2＝λ－1.由①知，a3＝λ＋1，令2a2＝a1＋a3，解得λ＝4.故an＋2－an＝4，由此可得{a2n－1}是首项为1，公差为4的等差数列，a2n－1＝4n－3；{a2n}是首项为3，公差为4的等差数列，a2n＝4n－1.所以an＝2n－1，an＋1－an＝2，因此存在λ＝4，使得数列{an}为等差数列．1等差数列的四个判定方法1．定义法：证明对任意正整数n都有an＋1－an等于同一个常数．2．等差中项法：证明对任意正整数n都有2an＋1＝an＋an＋2后，可递推得出an＋2－an＋1＝an＋1－an＝an－an－1＝an－1－an－2＝…＝a2－a1，根据定义得出数列{an}为等差数列．3．通项公式法：得出an＝pn＋q后，得an＋1－an＝p对任意正整数n恒成立，根据定义判定数列{an}为等差数列．4．前n项和公式法：得出Sn＝An2＋Bn后，根据Sn，an的关系，得出an，再使用定义法证明数列{an}为等差数列．[变式训练](2014·大纲全国卷)数列{an}满足a1＝1，a2＝2，an＋2＝2an＋1－an＋2.(1)设bn＝an＋1－an，证明{bn}是等差数列；(2)求{an}的通项公式．【解】(1)证明：由an＋2＝2an＋1－an＋2得an＋2－an＋1＝an＋1－an＋2，即bn＋1＝bn＋2.又b1＝a2－a1＝1，所以{bn}是首项为1，公差为2的等差数列．(2)由(1)得bn＝1＋2(n－1)＝2n－1，即an＋1－an＝2n－1.于是(ak＋1－ak)＝(2k－1)，所以an＋1－a1＝n2，即an＋1＝n2＋a1.又a1＝1，所以{an}的通项公式为an＝n2－2n＋2.考向3等差数列性质的应用(1)(2015·广东高考)在等差数列{an}中，若a3＋a4＋a5＋a6＋a7＝25，则a2＋a8＝________.(2)(2016·郑州模拟)已知等差数列{an}满足a2＋a4＝4，a3＋a5＝10，则它的前10项和S10＝________.(3)设等差数列{an}的前n项和为Sn，已知前6项和为36，最后6项的和为180，Sn＝324(n＞6)，求数列{an}的项数及a9＋a10.【解析】(1)因为等差数列{an}中，a3＋a4＋a5＋a6＋a7＝25，所以5a5＝25，即a5＝5.所以a2＋a8＝2a5＝10.(2) a2＋a4＝2a3＝4，∴a3＝2，又a3＋a5＝2a4＝10，∴a4＝5，∴d＝a4－a3＝3，又a3＝a1＋2d＝2，∴a1＝－4，S10＝10×(－4)＋×3＝95...