2.3.1直线与平面垂直的判定【选题明细表】知识点、方法题号线面垂直的定义及判定定理的理解1,2,3,5,6线面垂直的判定及证明4,8直线与平面所成的角7,9综合问题10,11基础巩固1.设l,m是两条不同的直线,α是一个平面,则下列命题正确的是(A)(A)若l⊥α,l∥m,则m⊥α(B)若l∥α,mα,⊂则l∥m(C)若l⊥m,mα,⊂则l⊥α(D)若l∥α,m∥α,则l∥m解析:易知A正确.B.l与m可能异面,也可能平行.C.当l与α内两条相交直线垂直时,才能判定l⊥α,D.l与m可能平行、异面或相交.2.空间四边形ABCD的四边相等,则它的两对角线AC,BD的关系是(C)(A)垂直且相交(B)相交但不一定垂直(C)垂直但不相交(D)不垂直也不相交解析:取BD的中点O,连接AO,CO,则BD⊥AO,BD⊥CO,所以BD⊥平面AOC,BD⊥AC,又BD,AC异面,故选C.3.(2018·云南玉溪中学高一测试)直线l与平面α内的无数条直线都垂直,则直线l和平面α的位置关系是(D)(A)垂直(B)平行(C)l在α内(D)无法确定解析:当l与平面α内的无数条直线都垂直,若这无数条直线互相平行,则l可能在α内,也可能与平面α平行,相交,故选D.4.(2018·陕西西安高一期末)已知P为△ABC所在平面外一点,PA⊥PB,PB⊥PC,PC⊥PA,PH⊥平面ABC,垂足H,则H为△ABC的(B)(A)重心(B)垂心(C)外心(D)内心解析:连接AH并延长,交BC于D,连接BH并延长,交AC于E;因为PA⊥PB,PA⊥PC,故PA⊥平面PBC,故PA⊥BC;因为PH⊥平面ABC,故PH⊥BC,故BC⊥平面PAH,故AH⊥BC;同理BH⊥AC;故H是△ABC的垂心.5.下列说法中错误的是(D)①如果一条直线和平面内的一条直线垂直,该直线与这个平面必相交;②如果一条直线和平面的一条平行线垂直,该直线必在这个平面内;③如果一条直线和平面的一条垂线垂直,该直线必定在这个平面内;④如果一条直线和一个平面垂直,该直线垂直于平面内的任何直线.(A)①②(B)②③④(C)①②④(D)①②③解析:由线面垂直的判定定理可得①②③错误,④正确.故选D.6.(2018·南昌调研)若α,β是两个相交平面,则在下列命题中,真命题的序号为.(写出所有真命题的序号)①若直线m⊥α,则在平面β内,一定不存在与直线m平行的直线;②若直线m⊥α,则在平面β内,一定存在无数条直线与直线m垂直;③若直线mα,⊂则在平面β内,不一定存在与直线m垂直的直线;④若直线mα,⊂则在平面β内,一定存在与直线m垂直的直线.解析:对于①,若直线m⊥α,如果α,β互相垂直,则在平面β内,存在与直线m平行的直线,故①错误;对于②,若直线m⊥α,则直线m垂直于平面α内的所有直线,则在平面β内,一定存在无数条直线与直线m垂直,故②正确;对于③④,若直线mα,⊂则在平面β内,一定存在与直线m垂直的直线,故③错误,④正确.答案:②④7.如图所示,∠ACB=90°,平面ABC外有一点P,PC=4cm,PF,PE垂直于BC,AC于点F,E,且PF=PE=2cm,那么PC与平面ABC所成角的大小为.解析:过P作PO垂直于平面ABC于O,连接CO,则CO为∠ACB的平分线.连接OF,可证明△CFO为直角三角形,CO=2,Rt△PCO中,cos∠PCO=,∠PCO=45°.答案:45°8.如图,已知△ABC中,∠ACB=90°,SA⊥平面ABC,AD⊥SC于D,求证:AD⊥平面SBC.证明:因为∠ACB=90°,所以BC⊥AC.又SA⊥平面ABC,所以SA⊥BC.又AC∩SA=A,所以BC⊥平面SAC.因为AD⊂平面SAC,所以BC⊥AD.又SC⊥AD,SC∩BC=C,所以AD⊥平面SBC.能力提升9.(2018·宁夏银川高一期末)在正三棱柱ABC-A1B1C1中(底面是等边三角形,侧棱与底面垂直的三棱柱),已知AB=1,D在棱BB1上,且BD=1,则AD与平面AA1C1C所成角的正弦值为(A)(A)(B)(C)(D)解析:如图,分别取C1A1,CA的中点E,F,连接B1E与BF,则B1E⊥平面CAA1C1,过D作DH∥B1E,则DH⊥平面CAA1C1,连接AH,则∠DAH为AD与平面AA1C1所成的角,由已知易得DH=B1E=,DA=,所以sin∠DAH==.10.如图,四棱锥S-ABCD的底面为正方形,SD⊥底面ABCD,给出下列结论:①AC⊥SB;②AB∥平面SCD;③SA与平面ABD所成的角等于SC与平面ABD所成的角;④AC⊥SO.正确结论的序号是.解析:连接SO,如图所示,因为四棱锥S-ABCD的底面为正方形,所以AC⊥BD.因为SD⊥底面ABCD,所以SD⊥AC,因为SD∩BD=D,所以AC⊥平面SBD,因为SB⊂平面SBD,所以AC⊥SB,则①正确;因为AB∥CD,AB⊄平面SCD,CD⊂平面SCD,所以AB∥平面SCD,则②正确;因为SD⊥底面ABCD,所以∠SAD和∠SCD分别是SA与平面ABD所成的角、SC与平面ABD所...
