函数的单调性与最值1．函数的单调性(1)单调函数的定义增函数减函数定义一般地，设函数f(x)的定义域为I，如果对于定义域I内某个区间D上的任意两个自变量的值x1，x2当x1f(x2)，那么就说函数f(x)在区间D上是减函数图象描述自左向右看图象是上升的自左向右看图象是下降的(2)单调区间的定义如果函数y＝f(x)在区间D上是增函数或减函数，那么就说函数y＝f(x)在这一区间具有(严格的)单调性，区间D叫做y＝f(x)的单调区间．2．函数的最值前提设函数y＝f(x)的定义域为I，如果存在实数M满足条件(1)对于任意的x∈I，都有f(x)≤M；(2)存在x0∈I，使得f(x0)＝M(1)对于任意的x∈I，都有f(x)≥M；(2)存在x0∈I，使得f(x0)＝M结论M为最大值M为最小值概念方法微思考1．在判断函数的单调性时，你还知道哪些等价结论？提示对∀x1，x2∈D，x1≠x2，>0⇔f(x)在D上是增函数；对∀x1，x2∈D，x1≠x2，(x1－x2)·[f(x1)－f(x2)]>0⇔f(x)在D上是增函数．减函数类似．2．写出函数y＝x＋(a>0)的增区间．提示(－∞，－]和[，＋∞)．1．（2020·新课标Ⅱ）设函数，则f(x)（）A.是偶函数，且在单调递增B.是奇函数，且在单调递减C.是偶函数，且在单调递增D.是奇函数，且在单调递减【答案】D【解析】由得定义域为，关于坐标原点对称，又，为定义域上的奇函数，可排除AC；当时，，在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增，排除B；当时，，在上单调递减，在定义域内单调递增，根据复合函数单调性可知：在上单调递减，D正确.2．（2018·北京卷）能说明“若f（x）>f（0）对任意的x∈（0，2］都成立，则f（x）在［0，2］上是增函数”为假命题的一个函数是__________．【答案】（答案不唯一）【解析】对于，其图象的对称轴为，则f（x）>f（0）对任意的x∈（0，2］都成立，但f（x）在［0，2］上不是单调函数.1．（2019•平谷区一模）下列函数中，在区间上为增函数的是A．B．C．D．【答案】B【解析】根据题意，依次分析选项：对于，，为反比例函数，在上为减函数，不符合题意；对于，，为指数函数，在区间上为增函数，符合题意；对于，，为正弦函数，在上不是单调函数，不符合题意；对于，，是指数函数，在上为减函数，不符合题意；故选．2．（2019•西城区一模）下列函数中，值域为且在区间上单调递增的是A．B．C．D．【答案】C【解析】根据题意，依次分析选项：对于，，其值域为，，不符合题意；对于，，其值域为，不符合题意；对于，，值域为且在区间上单调递增，符合题意；对于，，在区间上为减函数，不符合题意；故选．3．（2016•安庆三模）若函数，在区间，和，上均为增函数，则实数的取值范围是A．，B．，C．，D．，【答案】B【解析】，，为实数集上的偶函数，由在区间，和，上均为增函数，知在，上为增函数，在，上为减函数，函数的对称轴，得，．故选．4．（2016•天津二模）若，在定义域上是单调函数，则的取值范围是A．B．C．D．【答案】C【解析】在定义域上是单调函数时，①函数的单调性是增函数时，可得当时，，即，解之得时，是增函数，又时，是增函数，，得或因此，实数的取值范围是：②函数的单调性是减函数时，可得当时，，即，解之得或．时，是减函数，又时，是减函数，，得或因此，实数的取值范围是：综上所述，得故选．5．（2020春•天津期末）下列函数中，在上为增函数的是A．B．C．D．【答案】C【解析】根据题意，依次分析选项：对于，为一次函数，在上为减函数，不符合题意；对于，为二次函数，在上为减函数，不符合题意；对于，为反比例函数，在上为增函数，符合题意；对于，，当时，，则函数在上为减函数，不符合题意；故选．6．（2019秋•武昌区期末）下列函数在上是增函数的是A．B．C．D．【答案】D【解析】对于，函数在递减，不合题意；对于，函数在递减，不合题意；对于，函数在递减，不合题意；对于，函数在递增，符合题意；故选．7．（2020春•郑州期末）函数的单调减区间是A．B．C．D．【答案】A【解析】函数的导数为，令，解得．即有单调减区间为．故选．8．（2020•北京模拟）下列函数中，在内单调递增...
