高考数学复习点拨 求数列通项公式的八种常规方法新人教A版VIP免费

求数列通项公式的八种常规方法下面就几种常见的数列的通项公式的求法作简单的介绍，供大家参考。一、观察法例1：根据数列的前4项，写出它的一个通项公式：（1）9，99，999，9999，…（2）,17164,1093,542,211（3）,52,21,32,1（4）,54,43,32,21解：（1）变形为：101－1，102―1，103―1，104―1，……∴通项公式为：110nna（2）;122nnnan（3）;12nan（4）1)1(1nnann.点评：观察各项的特点，关键是找出各项与项数n的关系。二、公式法例2：已知数列{an}是公差为d的等差数列，数列{bn}是公比为q的(q∈R且q≠1)的等比数列，若函数f(x)=(x－1)2，且a1=f(d－1)，a3=f(d+1)，b1=f(q+1)，b3=f(q－1)，(1)求数列{an}和{bn}的通项公式；解：(1)∵a1=f(d－1)=(d－2)2，a3=f(d+1)=d2，∴a3－a1=d2－(d－2)2=2d，∴d=2，∴an=a1+(n－1)d=2(n－1)；又b1=f(q+1)=q2，b3=f(q－1)=(q－2)2，∴2213)2(qqbb=q2，由q∈R，且q≠1，得q=－2，∴bn=b·qn－1=4·(－2)n－1点评：当已知数列为等差或等比数列时，可直接利用等差或等比数列的通项公式，只需求得首项及公差公比。三、叠加法用心爱心专心例3：已知数列6，9，14，21，30，…求此数列的一个通项。解易知,121naann∵,312aa,523aa,734aa……,121naann各式相加得)12(7531naan∴)(52Nnnan点评：一般地，对于型如)(1nfaann类的通项公式，只要)()2()1(nfff能进行求和，则宜采用此方法求解。四、叠乘法例4：在数列｛na｝中，1a=1,(n+1)·1na=n·na，求na的表达式。解：由(n+1)·1na=n·na得11nnaann，1aan=12aa·23aa·34aa…1nnaa=nnn11433221所以nan1点评：一般地，对于型如1na=f(n)·na类的通项公式，当)()2()1(nfff的值可以求得时，宜采用此方法。五、Sn法利用2)(n1)(n11nnnSSSa例5：已知下列两数列}{na的前n项和sn的公式，求}{na的通项公式。（1）13nnSn。（2）12nsn解：（1）11111Sana=1nnSS=1)1()1()1(33nnnn=3232nn此时，112Sa。∴na=3232nn为所求数列的通项公式。（2）011sa，当2n时用心爱心专心12]1)1[()1(221nnnssannn由于1a不适合于此等式。∴)2(12)1(0nnnan点评：要先分n=1和2n两种情况分别进行运算，然后验证能否统一。六、待定系数法：例6：设数列}{nc的各项是一个等差数列与一个等比数列对应项的和，若c1=2，c2=4，c3=7，c4=12，求通项公式cn解：设1)1(nnbqdnac132211121237242nnncabdqbqdabqdabqdaba点评：用待定系数法解题时，常先假定通项公式或前n项和公式为某一多项式，一般地，若数列}{na为等差数列：则cbnan，cnbnsn2（b、ｃ为常数），若数列}{na为等比数列，则1nnAqa，)1,0(qAqAAqsnn。七、辅助数列法例7：已知数}{na的递推关系为121nnaa，且11a求通项na。解：∵121nnaa∴)1(211nnaa令1nnab则辅助数列}{nb是公比为2的等比数列∴11nnqbb即nnnqaa2)1(111∴12nna点评：这种方法类似于换元法,主要用于已知递推关系式求通项公式。八、归纳、猜想例8：在数列｛na｝中，1,2211naaaann，则na的表达式为。用心爱心专心分析：因为1,2211naaaann，所以得：5,4,3432aaa，猜想：1nan。点评：对难以用上各法求通项的数列，常先由递推公式算出前几项，找到规律，归纳、猜想出通项公式。用心爱心专心