专题跟踪训练(二十六)直线与圆锥曲线的位置关系一、选择题1．在直角坐标平面内，点A，B的坐标分别为(－1,0)，(1,0)，则满足tan∠PAB·tan∠PBA＝m(m为非零常数)的点P的轨迹方程是()A．x2－＝1(y≠0)B．x2－＝1C．x2＋＝1(y≠0)D．x2＋＝1[解析]设P(x，y)，由题意，得·＝－m(m≠0)，化简可得x2＋＝1(y≠0)．[答案]C2．(2018·重庆模拟)设A，P是椭圆＋y2＝1上两点，点A关于x轴的对称点为B(异于点P)，若直线AP，BP分别交x轴于点M，N，则OM·ON＝()A．0B．1C.D．2[解析]依题意，将点P特殊化为点(，0)，于是点M，N均与点(，0)重合，于是有OM·ON＝2，故选D.[答案]D3．已知椭圆E：＋＝1(a>b>0)的右焦点为F(3,0)，过点F的直线交E于A，B两点．若AB的中点坐标为(1，－1)，则E的方程为()A.＋＝1B.＋＝1C.＋＝1D.＋＝1[解析]设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则＋＝1，＋＝1，两式作差并化简变形得＝－，而＝＝，x1＋x2＝2，y1＋y2＝－2，所以a2＝2b2，又a2－b2＝c2＝9，于是a2＝18，b2＝9.故选D.[答案]D4．(2018·唐山市高三五校联考)直线l与双曲线C：－＝1(a>0，b>0)交于A，B两点，M是线段AB的中点，若l与OM(O是原点)的斜率的乘积等于1，则此双曲线的离心率为()A．2B.C．3D.[解析]设直线l与双曲线C：－＝1(a>0，b>0)的交点A(x1，y1)，B(x2，y2)，易知x1≠x2，则－＝1(a>0，b>0)①，－＝1(a>0，b>0)②，②－①得＝，即＝，因为l与OM的斜率的乘积等于1，所以＝1，双曲线的离心率e＝＝，故选B.[答案]B5．(2018·郑州市第三次质量预测)椭圆＋＝1的左焦点为F，直线x＝a与椭圆相交于点M，N，当△FMN的周长最大时，△FMN的面积是()A.B.C.D.[解析]设椭圆的右焦点为E，由椭圆的定义知△FMN的周长为L＝|MN|＋|MF|＋|NF|＝|MN|＋(2－|ME|)＋(2－|NE|)．因为|ME|＋|NE|≥|MN|，所以|MN|－|ME|－|NE|≤0，当直线MN过点E时取等号，所以L＝4＋|MN|－|ME|－|NE|≤4，即直线x＝a过椭圆的右焦点E时，△FMN的周长最大，此时S△FMN＝×|MN|×|EF|＝××2＝，故选C.[答案]C6．(2018·福建省高三质检)过抛物线y2＝4x的焦点F的直线l交抛物线于A，B两点，交其准线于点C，且A，C位于x轴同侧，若|AC|＝2|AF|，则|BF|等于()A．2B．3C．4D．5[解析]设抛物线的准线与x轴交于点D，则由题意，知F(1,0)，D(－1,0)，分别作AA1，BB1垂直于抛物线的准线，垂足分别为A1，B1，则有＝，所以|AA1|＝，故|AF|＝.又＝，即＝，亦即＝，解得|BF|＝4，故选C.[答案]C二、填空题7．椭圆C：＋＝1的左、右顶点分别为M，N，点P在C上，且直线PN的斜率是－，则直线PM的斜率为________．[解析]设P(x0，y0)，则＋＝1，直线PM的斜率kPM＝，直线PN的斜率kPN＝，可得kPM·kPN＝＝－，故kPM＝－·＝3.[答案]38．(2018·郑州一模)如图，F1，F2是双曲线－＝1(a>0，b>0)的左、右焦点，过F1的直线l与C的左、右两个分支分别交于点B，A.若△ABF2为等边三角形，则双曲线的离心率为________________．[解析] △ABF2为等边三角形，∴|AB|＝|AF2|＝|BF2|，∠F1AF2＝60°.由双曲线的定义可得|AF1|－|AF2|＝2a，∴|BF1|＝2a.又|BF2|－|BF1|＝2a，∴|BF2|＝4a.∴|AF2|＝4a，|AF1|＝6a.在△AF1F2中，由余弦定理可得|F1F2|2＝|AF1|2＋|AF2|2－2|AF2|·|AF1|cos60°，∴(2c)2＝(4a)2＋(6a)2－2×4a×6a×，整理得c2＝7a2，∴e＝＝＝.[答案]9．(2018·湖南六校联考)设抛物线C：y2＝4x的焦点为F，过点P(－1,0)作直线l与抛物线C交于A、B两点．若S△ABF＝，且|AF|<|BF|，则＝________.[解析]设直线l的方程为x＝my－1，将直线方程代入抛物线C：y2＝4x的方程得y2－4my＋4＝0，设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则0<<1，y1＋y2＝4m，y1·y2＝4，又S△ABF＝，所以S△BPF－S△APF＝|y2－y1|＝，因此y＋y＝10，所以＝＝，从而＝，又由抛物线的定义与相似三角形可知＝＝，∴＝＝.[答案]三、解答题10．(2018·广东七校第一次联考)已知动点M到定点F1(－2,0)和F2(2,0)的距离之和为4.(1)求动点M的轨迹C的方程；(2)设N(0,2)，过点P(－1，－2)作直线l，交曲线C于不同于N的两点A，B，直线NA，NB的斜率分别为k1，k2，求k1＋k2的值．[解](1)由椭圆的定义，可知点M的轨迹是以F1，F2为焦点，4为长轴长的椭圆...
