折叠与展开问题祁东育贤中学周友良【知识与方法】折叠与展开问题是立体几何的两个重要问题，这两种方式的转变正是空间几何与平面几何问题转化的集中体现。处理这类题型的关键是抓住两图的特征关系。折叠问题是立体几何的一类典型问题是实践能力与创新能力考查的好素材。解答折叠问题的关键在于画好折叠前后的平面图形与立体图形，并弄清折叠前后哪些发生了变化，哪些没有发生变化。这些未变化的已知条件都是我们分析问题和解决问题的依据。而表面展开问题是折叠问题的逆向思维、逆过程，一般地，涉及到多面体表面的问题，解题时不妨将它展开成平面图形试一试。【认知训练】1.△ABC的BC边上的高线为AD，BD=a，CD=b，将△ABC沿AD折成大小为θ的二面角B-AD-C，若，则三棱锥A-BCD的侧面三角形ABC是（）A、锐角三角形B、钝角三角形C、直角三角形D、形状与a、b的值有关的三角形2.如图为棱长是1的正方体的表面展开图，在原正方体中，给出下列三个命题：①点M到AB的距离为②三棱锥C－DNE的体积是③AB与EF所成角是其中正确命题的序号是3．将下面的平面图形（每个点都是正三角形的顶点或边的中点）沿虚线折成一个正四面体后，直线与是异面直线的是……………………………………………（）①②③④A．①②B．②④C．①④D．①③4.正方形ABCD中，M为AD的中点，N为AB中点，沿CM、CN分别将三角形CDM和△CBN折起，使CB与CD重合，设B点与D点重合于P，设T为PM的中点，则异面直线CT与PN所成的角为（用心爱心专心ABCDEFMNMNPQMPQNMNPQMNPQ）A,300B,450C,600D,900)ANMPC(B)(D)TµÚ11Ìâͼ5.（06山东卷）如图，在等腰梯形ABCD中，AB=2DC=2,∠DAB=60°,E为AB的中点，将△ADE与△BEC分别沿ED、EC向上折起，使A、B重合于点P，则P－DCE三棱锥的外接球的体积为(A)(B)(C)(D)6.在直三棱柱ABC－A1B1C1中，底面为直角三角形，ÐACB＝90°，AC＝6，BC＝CC1＝，P是BC1上一动点，则CP＋PA1的最小值是___________7.用一张正方形的包装纸把一个棱长为a的立方体完全包住，不能将正方形纸撕开，所需包装纸的最小面积为A.B．C.D.【能力训练】例1.点是边长为4的正方形的中心，点，分别是，的中点．沿对角线把正方形折成直二面角D－AC－B．（Ⅰ）求的大小；（Ⅱ）求二面角的大小．例2.如图，在正三棱柱ABC-A1B1C1中，AB=3，AA1=4,M为AA1的中点，P是BC上一点，且由P沿棱柱侧面经过棱CC1到M点的最短路线长为，设这条最短路线与C1C的交点为N。求1)该三棱柱的侧面展开图的对角线长；2)PC和NC的长；3)平面NMP和平面ABC所成二面角（锐角）的大小（用反三角函数表示）例3.已知△ABC的边长为3，D、E分别是边BC上的三等分点，沿AD、AE把△ABC折成A－DEF，使B、C两点重合于点F，且G是DE的中点（1）求证：DE⊥平面AGF（2）求二面角A―DE―F的大小；（3）求点F到平面ADE的距离.用心爱心专心C1CBA1ABCDGE例4（江苏卷）在正三角形ABC中，E、F、P分别是AB、AC、BC边上的点，满足AE:EB＝CF:FA＝CP:PB＝1:2（如图1）。将△AEF沿EF折起到的位置，使二面角A1－EF－B成直二面角，连结A1B、A1P（如图2）（Ⅰ）求证：A1E⊥平面BEP；（Ⅱ）求直线A1E与平面A1BP所成角的大小；（Ⅲ）求二面角B－A1P－F的大小（用反三角函数表示）例5.（辽宁卷）已知正方形.、分别是、的中点,将沿折起,如图所示,记二面角的大小为.(I)证明平面;(II)若为正三角形,试判断点在平面内的射影是否在直线上,证明你的结论,并求角的余弦值.【达成测试】1.长方形中，AB=BC,把它折成正三棱柱的侧面，使AD与BC重合，长方形的对角线AC与折痕线EF、GH分别交于M、N,则截面MNA与棱柱的底面DFH所成的角等于()A．30oB．45oC．60oD．90o2．如图9—99是一个无盖的正方体盒子展开后的平面图，A、B、C是展开图上的三点，则在正方体盒子中，∠ABC的值为（）用心爱心专心AACBDEFBCDEFAPFECBA1EFCPB图1图2图9—99A．180°B．120°C．45°D．60°3.如图，在正三角形ABC中，D，E，F分别为各边的中点，G，H，I，J分别为AF，AD，BE，DE的中点.将△ABC沿DE，EF，DF折成三棱锥以后，GH与IJ所成角的度数为（）A．90°B．60°C．45°D．0°4.如图9—100表示一个正方体表面的一种展开图，图中的四条线...
