高中数学三角函数最值问题典型错例剖析三角函数中的求最值问题因其注重数学知识间的交叉、渗透,解法灵活多变,突出对思维的灵活性和严密性的考察,历来都是高考中的常见题型。学生在解决这些问题过程中常常由于个别环节上的疏漏而导致失误丢分。下面通过对典型错解例题的剖析,揭示题型规律,提高解题的准确性。例1.已知2,求ycossin6的最小值。错解:由2,得2,则ycossinsinsinsin2626123211222故ymin112剖析:错在忽视了三角函数的有界性。正解:ycossinsin262321122因为sinx1,所以当sin1时,ymax7当sin1时,ymin5例2.已知0x,求函数yxxsincos的最大值和最小值。错解:yxxxsincossin24由0x,得4434x所以22422sinx故yymaxmin11,剖析:单调函数的最值在边界上,但正弦函数在闭区间434,上不单调因此,函数最值不一定在区间端点处取得。此题错在误用了函数单调性的性质。正解:yxxxsincossin24因为4434x由函数的图象易知2241sinx所以yymaxmin21,例3.已知22x,求函数yxxsincos3的最大值和最小值。错解:yxxxsincossin323用心爱心专心因为sinx31所以yymaxmin22,剖析:错在忽视了条件中对自变量的限制。正解:yx23sin,由22x得6356x所以1231sinx故yymaxmin21,例4.已知02x,求函数yxaxasincos25832的最大值。错解:yxaxa158322coscoscosxaaa24581222当cosxa2时,有yaamax245812剖析:错在忽视了参数的变化对函数最值的影响。正解:yxaaacos24581222因为02x,所以01cosx当02a,即021a时,有cosxa2时,yaamax245812当a2,即a21时,有cosx1时,yamax13832当a0,即a20时,有cosx0时,yamax5812例5.求函数yxxsincos1342的最大值和最小值。错解:原函数化为4902yxxysinsin关于sinx的二次方程的判别式()144902yy即112112y用心爱心专心所以yymaxmin112112,剖析:若取y112,将导致sinx32的错误结论,此题错在忽视了隐含条件|sin|x1。正解:原函数化为4902yxxysinsin当y0时,解得sinx0,满足sinx1当y0时,解得sinxyy1114482又sin|sin|xRx,1,则有114401111448122yyy或114401111448122yyy解得113113y所以yymaxmin113113,例6.求函数yxx123的最值。错解:yxxxx1231223126·当23xx即x62时,有ymax126剖析:错在利用均值不等式求函数最值时,忽视了“正数、定值、相等”三个条件缺一不可。正解:当x0时,yxxxx1231223126·故ymax126当x0时,yxxxx1231223126·故ymin126用心爱心专心