函数中“恒成立”问题求解对策十种 学法指导 不分版本VIP免费

函数中“恒成立”问题求解对策十种门德荣本文对此类问题的解题技巧，仅介绍几种常用的方法，供学习参考。一.利用函数思想例1.已知faxaxax()()loglog161323，当x01，时，fa()恒为正数，求a的取值范围。分析：从表面结构看fa()是一个以log3a为变量的二次函数，而实质是变量x的一次函数，因此可构造x的一次函数求解。解：原式变形为gxaaxa()(loglog)log32332611因为gx()在区间01，上恒正，所以gg()()0010且，即1032loga且1303loga解得1333a二.分离参数法例2.设rbax00220，，，如果对满足xayb22221的x，y，不等式xrxy2220恒成立，求r的取值范围。解：令xaybcossin，因为x0，故不妨设22，代入xrxy2220得aarbrababa22222222022coscossincoscos即上式对22，内的一切都成立，故对上述区间内的fababa()coscos22222的最小值也成立因为22所以cos0所以faabbbaab()()coscos12222222··当cosbab22时等号成立（因为022ba，所以bab221）用心爱心专心115号编辑1所以f()的最小值是baab22所以rbaab22三.判别式法例3.已知函数fxxmxm()()()2525在其定义域内恒为非负，求方程2121xmm||的根的取值范围。解：因为fx()恒为非负，则()()mm58502解得53m，方程化为2121xmm()(||)当52m时，则2121xmm()()所以2231422xmmm()所以242xx，当23m时，则211131822xmmmm()()，所以log233x所以方程的根的取值范围是，3四.利用函数的单调性例4.已知不等式111212112123nnnaa…log()，对一切大于1的自然数n恒成立，试确定参数a的取值范围。分析：显然，只需令函数fnnnn()111212…的最小值不小于112123log()aa即可。解：设fnnnnnNn()()1112121…且因为fnfnnnnnn()()()()112112211121220所以fn()是增函数，所以nN，且n1时，fnf()()2712要使fxaa()log()112123对一切大于1的自然数n恒成立必须有112123712log()aa所以log()aa11因为a1用心爱心专心115号编辑2所以ax11解得1152a即a的取值范围是1152，五.（1）利用一元不等式在区间上恒成立的充要条件例5.已知Pxbxbxaa(log)(log)logloglog2222161·（其中a为正常数），若当x在区间［1，2］内任意取值时，P的值恒为正，求b的取值范围。解：P变形为Pbbxbaaa(log)loglog(log)222611设txtlog201，则，Pftbbtbaaa()(log)log(log)22611因此，原题变为当t在区间［0，1］内任意取值时，ft()恒为正，求b的取值范围。由充要条件，当(log)log(log)aaabbb2261010（1）或fbfbaa()(log)()log01016202（2）时ft()恒为正解（1）得1322132213logab解（2）得113logab故，当a1时，13aba当0113aaba时，（2）利用一元二次不等式在区间上恒成立的充要条件。例6.已知定义在R上的函数fx()为奇函数，且在0，上是增函数，对任意实数R，问是否存在这样的实数m，使得ffmmf(cos)(cos)()23420对所有的都成立？若存在，求出m的取值范围；若不存在，请说明理由。解：因为f(x)为奇函数，且在0，上是增函数所以fx()在，上为增函数，且由fff()()()000，得200f()，即f()00，由此原不等式可化为用心爱心专心115号编辑3ffmm)mmmmtRt(cos)(coscoscoscoscoscos23242324220112设，因为所以，于是问题可化为：当t11，时，不等式gttmtm()2220是否成立。依充要条件有：（1）△mmgmm288011021()或（2）△mmgmm2880131021()或（3）...