高中数学 第二章 点、直线、平面之间的位置关系 2.3-2.3.1 直线与平面垂直的判定练习 新人教A版必修2-新人教A版高一必修2数学试题VIP免费

2.3直线、平面垂直的判定及其性质2.3.1直线与平面垂直的判定A级基础巩固一、选择题1．给出下列三个命题：①一条直线垂直于一个平面内的三条直线，则这条直线和这个平面垂直；②一条直线与一个平面内的任意直线所成的角都相等，则这条直线和这个平面垂直；③一条直线在平面内的射影是一点，则这条直线和这个平面垂直．其中正确的个数是()A．0B．1C．2D．3解析：①中三条直线不一定存在两条直线相交，因此直线不一定与平面垂直；②中直线与平面所成角必为直角，因此直线与平面垂直；③根据射影定义知正确．答案：C2．已知直线m，n是异面直线，则过直线n且与直线m垂直的平面()A．有且只有一个B．至多一个C．有一个或无数个D．不存在解析：若异面直线m、n垂直，则符合要求的平面有一个，否则不存在．答案：B3．如果一条直线垂直于一个平面内的下列各种情况，能保证该直线与平面垂直的是()①三角形的两边②梯形的两边③圆的两条直径④正六边形的两条边A．①③B．②C．②④D．①②③解析：由线面垂直的判定定理可知①③是正确的，而②中线面可能平行、相交．④中由于正六边形的两边不一定相交，所以也无法判定线面垂直．答案：A4．空间四边形ABCD的四边相等，则它的两对角线AC、BD的关系是()A．垂直且相交B．相交但不一定垂直C．垂直但不相交D．不垂直也不相交解析：如图，取BD中点O，连接AO，CO，则BD⊥AO，BD⊥CO，所以BD⊥平面AOC，BD⊥AC，又BD、AC异面．所以AC与BD垂直不相交．答案：C5.如图所示，PA⊥平面ABC，△ABC中BC⊥AC，则图中直角三角形的个数是()A．1B．2C．3D．4解析：⇒⇒BC⊥平面PAC⇒BC⊥PC，所以直角三角形有△PAB，△PAC，△ABC，△PBC.答案：D二、填空题6．已知△ABC所在平面外一点P到△ABC三顶点的距离都相等，则点P在平面ABC内的射影是△ABC的____________________(填“重心”、“外心”、“内心”、“垂心”)．解析：P到△ABC三顶点的距离都相等，则点P在平面ABC内的射影到△ABC三顶点的距离都相等，所以是外心．答案：外心7．如图所示，在长方体ABCDA1B1C1D1中，AB＝BC＝2，AA1＝1，则AC1与平面A1B1C1D1所成角的正弦值为________．解析：连接A1C1，因为AA1⊥平面A1B1C1D1，所以∠AC1A1为AC1与平面A1B1C1D1所成的角．又A1B1＝B1C1＝2，AA1＝1，所以AC1＝3.在Rt△AA1C1中，sin∠AC1A1＝＝.答案：8．如图所示，平面α∩β＝CD，EA⊥α，垂足为A，EB⊥β，垂足为B，则CD与AB的位置关系是________．解析：因为EA⊥α，CD⊂α，根据直线和平面垂直的定义，则有CD⊥EA.同样，因为EB⊥β，CD⊂β，则有EB⊥CD.又EA∩EB＝E，所以CD⊥平面AEB.又因为AB⊂平面AEB，所以CD⊥AB.答案：CD⊥AB三、解答题9.(2015·重庆卷)如图所示，三棱锥PABC中，PC⊥平面ABC，∠ACB＝90°.D，E分别为线段AB，BC上的点，且CD＝DE＝，CE＝2.证明：DE⊥平面PCD.证明：由PC⊥平面ABC，DE⊂平面ABC，故PC⊥DE.由CE＝2，CD＝DE＝，得△CDE为等腰直角三角形，故CD⊥DE.由PC∩CD＝C，故DE⊥平面PCD.10．如图所示，四边形ABCD为矩形，AD⊥平面ABE，F为CE上的点，且BE⊥平面ACE.求证：AE⊥BE.证明：因为AD⊥平面ABE，AD∥BC，所以BC⊥平面ABE.又AE⊂平面ABE，所以AE⊥BC.因为BF⊥平面ACE，AE⊂平面ACE，所以AE⊥BF.又因为BF⊂平面BCE，BC⊂平面BCE，BF∩BC＝B，所以AE⊥平面BCE.又BE⊂平面BCE，所以AE⊥BE.B级能力提升1．如图①所示，在正方形SG1G2G3中，E、F分别是边G1G2，G2G3的中点，D是EF的中点，现沿SE、SF及EF把这个正方形折成一个如图②所示的几何体，使G1、G2、G3三点重合于点G，则下面结论成立的是()图①图②A．SG⊥平面EFGB．SD⊥平面EFGC．GF⊥平面SEFD．GD⊥平面SEF解析：在图①是，SG1⊥G1E，SG3⊥G3F，因此在图②中，SG⊥GE，SG⊥GF，又GE∩GF＝G，所以SG⊥平面EFG.答案：A2．在三棱柱ABCA1B1C1中，各棱长相等，侧棱垂直于底面，点D是侧面BB1C1C的中点，则AD与平面BB1C1C所成角的大小是________．解析：如图所示，取BC的中点E，连接DE，AE，则AE⊥面BB1C1C.所以AE⊥DE，因此AD与平面BB1C1C所成角即为∠ADE，设AB＝a，则AE＝a，DE＝，有tan∠ADE＝，所以∠ADE＝60°.答案：60°3.(2015·浙...