命题角度3：数列的单调性与最值1.设数列的前项之积为，且．（1）求数列的通项公式；（2）设，数列的前项之和为．若对任意的，总有，求实数的取值范围．【答案】（1）；（2）.【解析】试题分析：(1)由,再由可得数列的通项公式；(2)先求出,再根据对任意的,可得的取值范围.（2）由，得，所以，因为对任意的，故所求的取值范围是．．．．．．．．．．．．．．．．．．．12分考点：1.等比数列的通项公式和性质；2.等比数列求和.2.已知等比数列的公比，且，．（Ⅰ）求数列的通项公式；（Ⅱ）设，是数列的前项和，对任意正整数，不等式恒成立，求实数的取值范围．【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）．【解析】试题分析：（Ⅰ）本小题用等比数列的基本量法可求解，即用首项和公比表示出已知条件并解出，可得通项公式；（Ⅱ）由，因此用错位相减法可求得其前项和，对不等式按的奇偶分类，可求得参数的取值范围．试题解析：（Ⅰ）设数列的公比为，则，∴ ，∴，∴数列的通项公式为．（Ⅱ）解：∴∴∴=∴对任意正整数恒成立，设，易知单调递增．为奇数时，的最小值为，∴得，为偶数时，的最小值为，∴，综上，，即实数的取值范围是．3.设数列的前项和为，已知.（1）求数列的通项公式；（2）若对任意的，不等式恒成立，求实数的取值范围.【答案】（1）（2）试题解析：(1)令，解得．由，有，两式相减得，化简得（n≥2），∴数列是以首项为1，公比为2的等比数列，∴数列的通项公式．(2)由≥，整理得k≥，令，则，n=1，2，3，4，5时，，∴．n=6，7，8，…时，，即． b5=<，∴的最大值是．∴实数k的取值范围是．考点：由和项求通项，根据数列单调性求最值【方法点睛】给出Sn与an的递推关系求an，常用思路是：一是利用Sn－Sn－1＝an(n≥2)转化为an的递推关系，再求其通项公式；二是转化为Sn的递推关系，先求出Sn与n之间的关系，再求an.应用关系式an＝时，一定要注意分n＝1，n≥2两种情况，在求出结果后，看看这两种情况能否整合在一起.4.已知数列是等差数列，（1）判断数列是否是等差数列，并说明理由；（2）如果，试写出数列的通项公式；（3）在（2）的条件下，若数列得前n项和为，问是否存在这样的实数，使当且仅当时取得最大值。若存在，求出的取值范围；若不存在，说明理由。【答案】（1）数列是以为公差的等差数列.（2）.（3）存在或.【解析】试题分析：1）设的公差为，确定，作出结论.（2）根据，，建立的方程组，首先求得进一步确定.（3）由已知当且仅当时最大，得到，建立的不等式组，求得的范围.试题解析：（1）设的公差为，则数列是以为公差的等差数列3（2）两式相减：6分8分8（3）因为当且仅当时最大，有即12考点：等差数列，一元二次不等式组的解法.5.已知数列的前项和为，且，数列满足，，其前9项和为63.（1）求数列和的通项公式；（2）令，数列的前项和为，若对任意正整数，都有，求的最小值.【答案】（1）；（2）.【解析】试题分析：（1）由，可变形为，可得数列是等差数列，利用等差数列的通项公式可得，再根据数列的和与通项的关系，即可求解数列的通项公式，由，可得数列为等差数列，利用等差数列的通项公式即可求解；（2）由题意得，可化简，利用“裂项求和”可得：数列的前项和，设，可得数列单调递增，得出，由于对任意正整数，都有，可得，即可求出.（2）由(1)知cn＝＋＝＋＝2＋2(－)，所以Tn＝c1＋c2＋…＋cn＝2n＋2×(1－＋－＋－＋…＋－＋－)＝2n＋2(1＋－－)＝3－2(＋)＋2n.所以Tn－2n＝3－2(＋)．设An＝Tn－2n＝3－2(＋)．因为An＋1－An＝3－2(＋)－[3－2(＋)]＝2(－)＝>0，所以{An}单调递增，故(An)min＝A1＝.因为An＝3－2(＋)<3，所以≤An<3.因为对任意正整数n，Tn－2n∈[a，b]，所以a≤，b≥3，即a的最大值为，b的最小值为3，所以(b－a)min＝3－＝.考点：数列的递推关系；等差数列的通项公式；数列求和的应用.6.已知数列的前项和为，且（）．（1）求的通项公式；（2）设，，是数列的前项和，求正整数，使得对任意均有恒成立；（3）设，是数列的前项和，若对任意均有恒成立，求的最小值．【答案】（1）（2）或5（3）【解析】试题分析:(1)由与之间的关系求出的通项公式;(2)先求...
