培优点三含导函数的抽象函数的构造1．对于，可构造例1：函数的定义域为，，对任意，，则的解集为（）A．B．C．D．【答案】B【解析】构造函数，所以，由于对任意，，所以恒成立，所以是上的增函数，又由于，所以，即的解集为．故选B．2．对于，构造；对于，构造例2：已知函数的图象关于轴对称，且当，成立，，，，则，，的大小关系是（）A．B．C．D．【答案】D【解析】因为函数关于轴对称，所以函数为奇函数．因为，所以当时，，函数单调递减，当时，函数单调递减．因为，，，所以，所以．故选D．3．对于，构造；对于或，构造例3：已知为上的可导函数，且，均有，则有（）A．，B．，C．，D．，【答案】D【解析】构造函数，则，因为均有并且，所以，故函数在上单调递减，所以，，即，，也就是，．4．与，构造例4：已知函数对任意的满足，则（）A．B．C．D．【答案】D【解析】提示：构造函数．一、选择题1．若函数在上可导且满足不等式恒成立，对任意正数、，若，则必有（）A．B．C．D．【答案】C【解析】由已知∴构造函数，则，从而在上为增函数。 ，∴，即，故选C．对点增分集训2．已知函数满足，且，则的解集为（）A．B．C．D．【答案】D【解析】构造新函数，则，，对任意，有，即函数在上单调递减，所以的解集为，即的解集为，故选D．3．已知函数的定义域为，为的导函数，且，则（）A．B．C．D．【答案】C【解析】由题得，设，所以函数在上单调递增，因为，所以当时，；当时，．当时，，，所以．当时，，，所以．当时，，所以．综上所述，故答案为C．4．设函数是函数的导函数，已知，且，，则使得成立的的取值范围是（）A．B．C．D．【答案】B【解析】设，则，即函数在上单调递减，因为，即导函数关于直线对称，所以函数是中心对称图形，且对称中心，由于，即函数过点，其关于点的对称点也在函数上，所以有，所以，而不等式，即，即，所以，故使得不等式成立的的取值范围是．故选B．5．已知函数的图象关于点对称，函数对于任意的满足（其中是函数的导函数），则下列不等式成立的是（）A．B．C．D．【答案】C【解析】由已知，为奇函数，函数对于任意的满足，得，即，所以在上单调递增；又因为为偶函数，所以在上单调递减．所以，即．故选C．6．定义在上的函数的导函数为，若对任意实数，有，且为奇函数，则不等式的解集为（）A．B．C．D．【答案】B【解析】构造函数，则，所以在上单独递减，因为为奇函数，所以，∴，．因此不等式等价于，即，故选B．7．已知函数是偶函数，且当时满足，则（）A．B．C．D．【答案】A【解析】是偶函数，则的对称轴为，构造函数，则关于对称，当时，由，得，则在上单调递增，在上也单调递增，故，∴．本题选择A选项．8．已知定义域为的奇函数的导函数为，当时，，若，，，则，，的大小关系正确的是（）A．B．C．D．【答案】C【解析】定义域为的奇函数，设，∴为上的偶函数，∴， 当时，，∴当时，．当时，，即在单调递增，在单调递减．，，， ，∴．即，故选C．9．已知定义在上的函数的导函数为，（为自然对数的底数），且当时，，则（）A．B．C．D．【答案】C【解析】令，∴， ，∴时，，则，∴，在上单调递减，∴，即， ，∴，∴，，故选C．10．定义在上的函数的导函数为，若对任意，都有，则使得成立的的取值范围为（）A．B．C．D．【答案】D【解析】构造函数：，， 对任意，都有，∴，∴函数在单调递减，由化为：，∴．∴使得成立的的取值范围为．故选D．11．已知函数是定义在区间上的可导函数，满足且（为函数的导函数），若且，则下列不等式一定成立的是（）A．B．C．D．【答案】C【解析】构造函数，，所以是上的减函数．令，则，由已知，可得，下面证明，即证明，令，则，即在上递减，，即，所以，若，，则．故选C．12．定义在上的奇函数满足，且当时，不等式恒成立，则函数的零点的个数为（）A．1B．2C．3D．4【答案】C【解析】定义在上的奇函数满足：，且，又时，，即，∴，函数在时是增函数，又，∴是偶函数；∴时，是减函数，结合函数的定义域为，且，可得函数与的大致图象如图所示，∴由图象知，函数的零点的个数为3个．故选C．二、...
