第1讲空间几何体的三视图、表面积与体积(限时:45分钟)【选题明细表】知识点、方法题号空间几何体的三视图1,2,9,11几何体的表面积和体积3,6由三视图求几何体的表面积和体积4,5,7,10,12与球有关的接、切问题8,13,14一、选择题1.一个四面体的顶点在空间直角坐标系Oxyz中的坐标分别是(1,0,1),(1,1,0),(0,1,1),(0,0,0),画该四面体三视图中的正视图时,以zOx平面为投影面,则得到的正视图可以为(A)解析:在空间直角坐标系中作出四面体OABC的直观图如图所示,作顶点A,C在zOx平面的投影是A′,C′,可得四面体的正视图.故选A.2.(2018·宁德二模)某几何体的三视图如图所示,若该几何体的体积为2,则图中x的值为(A)(A)1(B)(C)(D)解析:三视图对应的几何体的直观图如图所示.几何体的体积为××2x×2=2,解得x=1.故选A.3.(2018·山西省八校一联)轴截面为正方形的圆柱的外接球的体积与该圆柱的体积的比值为(C)(A)(B)(C)(D)2解析:设圆柱的底面半径为r,由题意可知圆柱的高h=2r.设外接球的半径为R,则r2+r2=R2,故R=r.则圆柱的体积V1=πr2h=2πr3,外接球的体积V2=R3=r3,所以=.故选C.4.(2018·安徽省知名示范高中联考)某几何体的三视图如图所示,则该几何体的体积为(C)(A)1(B)(C)(D)解析:法一该几何体的直观图为四棱锥SABCD,如图,SD⊥平面ABCD,且SD=1,四边形ABCD是平行四边形,且AB=DC=1,连接BD,由题意知BD⊥DC,BD⊥AB,且BD=1,所以S四边形ABCD=1,所以=S四边形ABCD·SD=.故选C.法二由三视图易知该几何体为锥体,所以V=Sh,其中S指的是锥体的底面积,即俯视图中四边形的面积,易知S=1,h指的是锥体的高,从正视图和侧视图易知h=1,所以V=Sh=.故选C.5.(2018·辽宁模拟)一个正三棱柱(底面是正三角形,高等于侧棱长)的三视图如图所示,这个正三棱柱的表面积是(D)(A)8(B)24(C)4+24(D)8+24解析:由正视图知,三棱柱是以底面边长为4,高为2的正三棱柱,所以底面积为2××42=8,侧面积为3×4×2=24,所以其表面积为24+8.故选D.6.(2018·太原市一模)已知三棱锥DABC中,CD⊥底面ABC,△ABC为正三角形,若AE∥CD,AB=CD=AE=2,则三棱锥DABC与三棱锥EABC的公共部分构成的几何体的体积为(B)(A)(B)(C)(D)解析:设AD∩CE=F,因为CD=AE,所以F为CE的中点,则三棱锥FABC为三棱锥DABC与三棱锥EABC的公共部分,如图,取AC的中点M,连接FM,则FM=1,且FM⊥底面ABC,故FM为三棱锥FABC的高.S△ABC=×22=,故=××1=.故选B.7.祖暅原理:“幂势既同,则积不容异”.“幂”是截面积,“势”是几何体的高,意思是两个同高的几何体,如在等高处截面的面积恒相等,则体积相等.已知某不规则几何体与如图所示的几何体满足“幂势同”,则该不规则几何体的体积为(C)(A)(B)3(C)(D)6解析:三视图对应的几何体为三棱锥,其长为5,宽为,由侧视图知其高为=,三棱锥的体积为V=××5××=,所以所求不规则几何体的体积为.故选C.8.(2018·惠州市第二次调研)如图,某几何体的三视图是三个全等的等腰直角三角形且直角边长都等于1,则该几何体的外接球的体积为(B)(A)π(B)π(C)3π(D)π解析:还原几何体为三棱锥ABCD,将其放入棱长为1的正方体中,如图所示,则三棱锥ABCD外接球的半径R=,该几何体的外接球的体积V=πR3=π.故选B.9.(2018·武汉市四月调研)某几何体的三视图如图所示,则从该几何体的所有顶点中任取两个顶点,它们之间距离的最大值为(B)(A)(B)(C)2(D)2解析:由三视图可知,该几何体是一个四棱柱,记为四棱柱ABCDA1B1C1D1,将其放在如图所示的长方体中,底面ABCD是边长为1的正方形,四棱柱的高为1,连接AC1,观察图形可知,几何体中两顶点间距离的最大值为AC1的长,即=.故选B.10.(2018·郑州市一中入学测试)某工件的三视图如图所示,现将该工件通过切削,加工成一个体积尽可能大的长方体新工件,并使新工件的一个面落在原工件的一个面内,则原工件材料的利用率为（材料利用率=）(A)(A)(B)(C)(D)解析:依题意知,题中的工件形状是一个底面半径为1、高为2的圆锥,设新工件的长、宽、高分别为a,b,c,截去的小圆锥的底面半径、高分别为r,h,则有a2+b2=4r2,h=2r,设长方体的体积为abc=ab(2-2r)≤=4r2(1-r).设f(r)=4r2(1-r),则有f′(r)=4r(2-3r),当00,当
