专题31数列的概念与通项公式本专题特别注意：1.归纳法求通项2.项和互化求通项时注意的取值3.累和法求通项的方法4.累积法求通项的方法5.递推公式求通项的构造【学习目标】1.了解数列的概念和几种简单的表示方法(列表、图象、通项公式).2.了解数列是自变量为正整数的一类函数.3.会利用已知数列的通项公式或递推关系式求数列的某项.4.会用数列的递推关系求其通项公式.【方法总结】1.利用通项公式，应用函数思想是研究数列特征的基本方法之一，应善于运用函数观点认识数列，用函数的图象与性质研究数列性质.2.给出数列的常见途径有：列举、通项公式和递推关系式.3.应用公式an＝是求数列通项公式或递推关系式的常用方法之一，同时应注意验证a1是否符合一般规律.【高考模拟】一、单选题1．已知数列满足，，，，若恒成立，则的最小值为（）A．0B．1C．2D．【答案】D【解析】【分析】由，可得，利用裂项相消法可得结果.【详解】【点睛】裂项相消法是最难把握的求和方法之一，其原因是有时很难找到裂项的方向，突破这一难点的方法是根据式子的结构特点，常见的裂项技巧：(1)；（2）；（3）；（4）；此外，需注意裂项之后相消的过程中容易出现丢项或多项的问题，导致计算结果错误.2．（2017·保定市一模）已知函数是定义在上的奇函数，当时，，若数列满足，且，则（）A．2B．-2C．6D．-6【答案】C【解析】【分析】是周期数列且周期为，因此，利用题设的函数解析式可求函数值．【详解】【点睛】（1）当从数列的递推关系无法求通项时，可以从先计算数列的若干初始项，找出规律后可得通项（必要时用数学归纳法证明）．（2）对于奇函数（或偶函数），若已知的解析式，则当的时的解析为（偶函数时为）．3．已知数列的前项和为，且满足，则下列说法正确的是（）A．数列的前项和为B．数列的通项公式为C．数列为递增数列D．数列是递增数列【答案】C【解析】【分析】方法一：根据数列的递推公式可得{}是以5为首项，以5为等差的等差数列，可得Sn=，an=，即可判断，方法二：当n=1时，分别代入A，B，可得A，B错误，当n=2时，a2+5a1（a1+a2）=0，即a2++a2=0，可得a2=﹣，故D错误，【详解】当n=1时，a1=，当n≥2时，∴an=Sn﹣Sn﹣1=﹣=，∴an=，故只有C正确，方法二：当n=1时，分别代入A，B，可得A，B错误，当n=2时，a2+5a1（a1+a2）=0，即a2++a2=0，可得a2=﹣，故D错误，故选：C．【点睛】已知求的一般步骤：（1）当时，由求的值；（2）当时，由，求得的表达式；（3）检验的值是否满足（2）中的表达式，若不满足则分段表示；（4）写出的完整表达式.4．设的三边长分别为，的面积为…，若，，则（）A．为递减数列B．为递增数列C．为递增数列，为递减数列D．为递减数列，为递增数列【答案】B【解析】【分析】由an+1=an可知△AnBnCn的边BnCn为定值a1，由bn+1+cn+1﹣2a1=及b1+c1=2a1得bn+cn=2a1，则在△AnBnCn中边长BnCn=a1为定值，另两边AnCn、AnBn的长度之和bn+cn=2a1为定值，由此可知顶点An在以Bn、Cn为焦点的椭圆上，根据bn+1﹣cn+1=，得bn﹣cn=，可知n→+∞时bn→cn，据此可判断△AnBnCn的边BnCn的高hn随着n的增大而增大，再由三角形面积公式可得到答案．【详解】【点睛】本题主要考查由数列递推式求数列通项、三角形面积海伦公式，综合考查学生分析解决问题的能力，有较高的思维抽象度，属于难题.5．已知数列的首项，满足，则A．B．C．D．【答案】C【解析】【分析】由,两式相加可得，利用“累加法”可得结果.【详解】【点睛】由数列的递推公式求通项常用的方法有：（1）等差数列、等比数列（先根据条件判定出数列是等差、等比数列）；（2）累加法，相邻两项的差成等求和的数列可利用累加求通项公式；（3）累乘法，相邻两项的商是能求出积的特殊数列时用累乘法求通项；（4）构造法.6．已知是等差数列的前项和，则“对恒成立”是“数列为递增数列”的（）.A．充分必要条件B．充分而不必要条件C．必要而不充分条件D．既不充分也不必条件【答案】A【解析】分析：根据题意先证充分性，再证必要性。详解：由题可得，化简可得,即所以即恒成立点睛：本题主要考查充分必要条件，以及等差数列的通项公式和前n项和公...
