第1讲三角函数的化简与求值1.(2018常州教育学会学业水平检测)若π2<θ<π,则点P(tanθ,sinθ)位于第象限.2.已知扇形的半径为3cm,圆心角为2弧度,则扇形的面积为cm2.3.(2018江苏镇江期末)点P(sinπ3,-cosπ3)落在角θ的终边上,且θ∈[0,2π),则θ的值为.4.已知sinα+3cosα3cosα-sinα=5,则sin2α-sinαcosα=.5.已知sinα=cos2π5,0<α<π,则α的取值集合为.6.(2018江苏五校高三学情检测)已知α∈(π3,5π6),且cos(α-π3)=35,则sinα的值是.7.(2018江苏南通调研)在平面直角坐标系xOy中,已知角α,β的始边均为x轴的正半轴,终边分别经过点A(1,2),B(5,1),则tan(α-β)的值为.8.已知角α的终边在第四象限,与单位圆的交点A的坐标为(1❑√5,y0),且终边上有一点P到原点的距离为❑√5.(1)求y0的值和P点的坐标;(2)求tan(α-3π)cos(π-2α)+cos(3π2+2α)的值.9.已知sinα=-4❑√37,α∈(-π2,0).(1)求cos(π4+α)的值;(2)若sin(α+β)=-3❑√314,β∈(0,π2),求β的值.答案精解精析1.答案二解析由π2<θ<π得tanθ<0,sinθ>0,则点P位于第二象限.2.答案9解析该扇形的弧长为6cm,则面积为12×6×3=9(cm2).3.答案11π6解析点P(❑√32,-12)落在角θ的终边上,则tanθ=-❑√33,点P在第四象限,且θ∈[0,2π),则θ=11π6.4.答案25解析由题意可得tanα+33-tanα=5,tanα=2,则sin2α-sinαcosα=sin2α-sinαcosαsin2α+cos2α=tan2α-tanαtan2α+1=25.5.答案{π10,9π10}解析sinα=cos2π5=sin(π2-2π5)=sinπ10=sin9π10,0<α<π,则α的取值集合为{π10,9π10}.6.答案4+3❑√310解析α∈(π3,5π6)α-⇒π3∈(0,π2),且cos(α-π3)=35,则sin(α-π3)=45,则sinα=sin(α-π3+π3)=45×12+35×❑√32=4+3❑√310.7.答案97解析由三角函数的定义可得tanα=2,tanβ=15,则tan(α-β)=tanα-tanβ1+tanαtanβ=2-151+25=97.8.解析(1)由题意可得(1❑√5)2+y02=1,y0<0,则y0=-2❑√55,则sinα=-2❑√55=yP❑√5,yP=-2,cosα=❑√55=xP❑√5,xP=1,则P(1,-2).(2)原式=-tanαcos2α+sin2α=sin2αcosα-cos2αsinαcosα=sinαcosα=-2.9.解析(1)因为sinα=-4❑√37,α∈(-π2,0),所以cosα=❑√1-sin2α=❑√1-4849=17.从而cos(π4+α)=cosπ4cosα-sinπ4sinα=❑√22×17-❑√22×(-4❑√37)=❑√2+4❑√614.(2)因为α∈(-π2,0),β∈(0,π2),所以α+β∈(-π2,π2).因为sin(α+β)=-3❑√314,所以cos(α+β)=❑√1-sin2(α+β)=❑√1-(-3❑√314)2=1314.从而sinβ=sin[(α+β)-α]=sin(α+β)cosα-cos(α+β)sinα=-3❑√314×17-1314×(-4❑√37)=❑√32.因为β∈(0,π2),所以β=π3.
