6.2.3向量的数乘运算一、选择题1．4(a－b)－3(a＋b)－b等于()A．a－2bB．aC．a－6bD．a－8b解析：原式＝4a－4b－3a－3b－b＝a－8b.答案：D2．点C在直线AB上，且AC＝3AB，则BC等于()A．－2ABB.ABC．－ABD．2AB解析：如图，AC＝3AB，所以BC＝2AB.答案：D3．已知向量a，b是两个不共线的向量，且向量ma－3b与a＋(2－m)b共线，则实数m的值为()A．－1或3B.C．－1或4D．3或4解析：因为向量ma－3b与a＋(2－m)b共线，且向量a，b是两个不共线的向量，所以m＝，解得m＝－1或m＝3.答案：A4.如图，已知AB＝a，AC＝b，BD＝3DC，用a，b表示AD，则AD＝()A．a＋bB.a＋bC.a＋bD.a＋b解析：AD＝AB＋BD＝AB＋BC＝AB＋(AC－AB)＝AB＋AC＝a＋b.答案：D二、填空题5．已知|a|＝4，|b|＝8，若两向量方向同向，则向量a与向量b的关系为b＝________a.解析：由于|a|＝4，b＝8，则|b|＝2|a|，又两向量同向，故b＝2a.答案：26．点C在线段AB上，且＝，则AC＝________AB，BC＝________AB.解析：因为C在线段AB上，且＝，所以AC与AB方向相同，BC与AB方向相反，且＝，＝，所以AC＝AB，BC＝－AB.答案：－7．已知向量a，b满足|a|＝3，|b|＝5，且a＝λb，则实数λ的值是________．解析：由a＝λb，得|a|＝|λb|＝|λ||b|.∵|a|＝3，|b|＝5，∴|λ|＝，即λ＝±.答案：±三、解答题8．计算(1)(a＋2b)＋(3a－2b)－(a－b)；(2)－.解析：(1)原式＝a＋b＝a＋b.(2)原式＝－＝a＋b－a－b＝0.9．已知E，F分别为四边形ABCD的对角线AC，BD的中点，设BC＝a，DA＝b，试用a，b表示EF.解析：如图所示，取AB的中点P，连接EP，FP.在△ABC中，EP是中位线，所以PE＝BC＝a.在△ABD中，FP是中位线，所以PF＝AD＝－DA＝－b.在△EFP中，EF＝EP＋PF＝－PE＋PF＝－a－b＝－(a＋b)．[尖子生题库]10．已知e，f为两个不共线的向量，若四边形ABCD满足AB＝e＋2f，BC＝－4e－f，CD＝－5e－3f.(1)用e、f表示AD；(2)证明：四边形ABCD为梯形．解析：(1)AD＝AB＋BC＋CD＝(e＋2f)＋(－4e－f)＋(－5e－3f)＝(1－4－5)e＋(2－1－3)f＝－8e－2f.(2)证明：因为AD＝－8e－2f＝2(－4e－f)＝2BC，所以AD与BC方向相同，且AD的长度为BC的长度的2倍，即在四边形ABCD中，AD∥BC，且AD≠BC，所以四边形ABCD是梯形．
