高中数学一轮复习数表、数阵中的数列问题VIP免费

◆高考专题复习◆数表、数阵中的数列问题[复习说明]数表、数阵等问题历来是竞赛的热点，如1990年全国高中联赛试题就是用个正数排成的一个数阵，1998年希望杯邀请赛试题是以数表的形式出现的，等等.近年来，数表、数阵等问题频繁地出现在高考试题中，如：2003年全国卷的压轴题，它将一个数列的各项按照一定的规律排成一个三角形数阵；2004年北京市春季高考的压轴题是一个“等差数阵”题,如此等等.而这些试题大多为压轴题，且都与数列有着深刻的联系.[命题分析]数阵、数表问题是一个非常广泛的研究性学习问题，试题常常以信息迁移的方式给出（如2004年北京市春季高考题，以“等差数阵”为背景给出该题），对它的研究往往在观察、归纳、推理的基础上，运用数列的有关知识和方法去解决问题，而这里的关键是求出数表、数表的“通项公式”.[范例精选]例1、（2004年北京市春季高考题）下表给出一个“等差数阵”：47（）（）（）……aj1……712（）（）（）……aj2……（）（）（）（）（）……aj3……（）（）（）（）（）……aj4………………………………………………ai1ai2ai3ai4ai5……………………………………………………其中每行、每列都是等差数列，aij表示位于第i行第j列的数.（I）写出a45的值；（II）写出aij的计算公式；（III）证明：正整数N在该等差数列阵中的充要条件是2N+1可以分解成两个不是1的正整数之积.【解】（I）a4549（II）该等差数阵的第一行是首项为4，公差为3的等差数列：ajj1431()第二行是首项为7，公差为5的等差数列：ajj2751()……第i行是首项为431()i，公差为21i的等差数列，因此aiijijijijjij431211221()()()()（III）必要性：若N在该等差数阵中，则存在正整数i，j使得Nijj()21从而2122121Nijj()()()2121ij即正整数2N+1可以分解成两个不是1的正整数之积。充分性：若2N+1可以分解成两个不是1的正整数之积，由于2N+1是奇数，则它必为两个不是1的奇数之积，即存在正整数k，l，使得212121Nkl()()从而Nkllakl()21可见N在该等差数阵中.综上所述，正整数N在该等差数阵中的充要条件是2N+1可以分解成两个不是1的正整数之积.【附注】本小题主要考查等差数列、充要条件等基本知识，考查逻辑思维能力、分析问题和解决问题的能力.试题通过设置某种情境（等差数阵）定义了一种新型运算（即每行、每列都是等差数列），这种“信息给予题”是学生在以往考试和任何一次课本复习中从没有遇见过的,但只要读懂题意，做起来并不难，要求考生应注重基础知识并适当灵活运用.例2、根据2003年全国高考题改编的题）设是集合{，且}中所有的数从小到大排列成的数列，即将数列各项按照上小下大，左小右大的原则写成如下的三角形数表：35691012—————————（1）若记上述数表中的第第个数为，求；（2）求.【解】（1）取集合中不大于（）的数按从小到大的顺序分成一组得：第1组：21+20（3）第2组：22+20，22+21（5，6）第3组：23+20，23+21，23+22（9，10，12）……第组：∴.（2） 第组有个数，前组共有1+2+3+…+个数，令=，则为满足的最小整数，求得，则∴【附注】通过观察、归纳和推理，进而有效地利用条件是解决本题的关键，也就是说，的元素具有的形式，因而，为我们恰当地进行分组提供了依据.例3、64个正数排成8行8列，如下图所示：在符号中，表示该数所在的行数，表示该数所在的列数.已知每一行数都成等差数列，而每一列数都成等比数列（每列公比都相等），且（1）求的通项公式；（2）记第行各项和为，求A1的值及的通项公式；（3）若<1，求的值.【解】（1）设第一行公差为，各列公比为，则有：联立解得，从而（2）==（3） <1，∴，又，∴的值为6，7，8.【附注】本题的关键在于正确地理解题意，即对“每一行数都成等差数列，而每一列数都成等比数列（每列公比都相等）”要充分的认识，然后，根据所给数据，布列方程组，进而求出公差和公比，从而其它问题也就迎刃而解了.[阶梯练习]1、一个正整数数表排列如下：第1行：1第2行：2，3第3行：4，5，6第4行：7，8，9，10………………则第10行第8...