专题限时集训(四)数列求和(对应学生用书第86页)(限时：40分钟)题型1数列中an与Sn的关系1,2,3,4,5,7,8,10,11,12题型2裂项相消法求和6,9,13题型3错位相减法求和14一、选择题1．(2017·武汉4月模拟)已知数列{an}满足a1＝1，a2＝，若an(an－1＋2an＋1)＝3an－1·an＋1(n≥2，n∈N*)，则数列{an}的通项an＝()【导学号：07804030】A.B．C.D．B[法一：(构造法)an(an－1＋2an＋1)＝3an－1an＋1⇒＋＝⇒－＝2，又－＝2，∴是首项为2、公比为2的等比数列，则－＝2n，即－＝＋＋…＋＝2n－2，＝2n－1，∴an＝.故选B.法二：(特值排除法)由a2(a1＋2a3)＝3a1a3，得a3＝，即可排除选项A，C，D.故选B.]2．(2017·山西重点中学5月联考)设Tn为等比数列{an}的前n项之积，且a1＝－6，a4＝－，则当Tn最大时，n的值为()A．4B．6C．8D．10A[设等比数列{an}的公比为q， a1＝－6，a4＝－，∴－＝－6q3，解得q＝，∴an＝－6×.∴Tn＝(－6)n×＝(－6)n×，当n为奇数时，Tn＜0，当n为偶数时，Tn＞0，故当n为偶数时，Tn才有可能取得最大值．T2k＝36k×k(2k－1).＝＝36×，当k＝1时，＝＞1；当k≥2时，＜1.∴T2＜T4，T4＞T6＞T8＞…，则当Tn最大时，n的值为4.]3．(2017·郑州第二次质量预测)已知数列{an}满足an＋1＝an－an－1(n≥2)，a1＝m，a2＝n，Sn为数列{an}的前n项和，则S2017的值为()A．2017n－mB．n－2017mC．mD．nC[由题意可知，a1＝m，a2＝n，a3＝a2－a1＝n－m，a4＝a3－a2＝－m，a5＝a4－a3＝－n，a6＝a5－a4＝m－n，a7＝a6－a5＝m，a8＝a7－a6＝n，…，综上，数列{an}是以6为周期的数列，因为2017＝336×6＋1，且同一个周期内所有项的和为0，所以S2017＝a1＝m.]4．(2017·河南洛阳3月模拟，7)某数学家在研究兔子繁殖问题时，发现有这样一列数：1,1,2,3,5,8,13，….该数列的特点是：前两个数都是1，从第三个数起，每一个数都等于它前面两个数的和，则(a1a3－a)(a2a4－a)(a3a5－a)…(a2015a2017－a)＝()A．1B．－1C．2017D．－2017B[ a1a3－a＝1×2－12＝1，a2a4－a＝1×3－22＝－1，a3a5－a＝2×5－32＝1，……，a2015a2017－a＝1，∴(a1a3－a)(a2a4－a)(a3a5－a)…(a2015·a2017－a)＝11008×(－1)1007＝－1.故选B.]5．(2016·祁阳二模)已知函数f(n)＝n2cos(nπ)，且an＝f(n)＋f(n＋1)，则a1＋a2＋a3＋…＋a100等于()A．0B．－100C．100D．10200B[ f(n)＝n2cos(nπ)＝＝(－1)n·n2，∴由an＝f(n)＋f(n＋1)＝(－1)n·n2＋(－1)n＋1·(n＋1)2＝(－1)n[n2－(n＋1)2]＝(－1)n＋1·(2n＋1)，得a1＋a2＋a3＋…＋a100＝3＋(－5)＋7＋(－9)＋…＋199＋(－201)＝50×(－2)＝－100.故选B.]6．(2017·福州毕业班质量检测)已知数列{an}中，a1＝1，且对任意的m，n∈N*，都有am＋n＝am＋an＋mn，则∑＝()【导学号：07804031】A.B．C.D．D[令m＝1，则an＋1＝a1＋an＋n，又a1＝1，所以an＋1＝an＋n＋1，即an＋1－an＝n＋1，所以a2－a1＝2，a3－a2＝3，…，an－an－1＝n(n≥2)，把以上n－1个式子相加，得an－a1＝2＋3＋…＋n，所以an＝1＋2＋3＋…＋n＝，当n＝1时，上式也成立，所以an＝，所以＝＝2，所以∑＝2＝2＝，故选D.]7．(2017·福州五校联考)已知数列{an}的首项a1＝a，其前n项和为Sn，且满足Sn＋Sn－1＝3n2＋2n＋4(n≥2)，若对任意的n∈N*，an＜an＋1恒成立，则正整数a的值是()A．5B．6C．7D．8B[由Sn＋Sn－1＝3n2＋2n＋4(n≥2)，可以得到Sn＋1＋Sn＝3(n＋1)2＋2(n＋1)＋4，两式相减得an＋1＋an＝6n＋5，故an＋2＋an＋1＝6n＋11，两式再相减得an＋2－an＝6.对于Sn＋Sn－1＝3n2＋2n＋4(n≥2)，由n＝2得a1＋a2＋a1＝20，即a2＝20－2a，故偶数项为以20－2a为首项，6为公差的等差数列，从而a2n＝6n＋14－2a.对于Sn＋Sn－1＝3n2＋2n＋4(n≥2)，由n＝3得a1＋a2＋a3＋a1＋a2＝37，即a3＝2a－3，从而a2n＋1＝6n－9＋2a.由题意得，解得＜a＜，故正整数a的值为6.]8．(2017·长沙二模)已知Sn为数列{an}的前n项和，且2am＝am－1＋am＋1(m∈N*，m≥2)，若(a2－2)5＋2016(a2－2)3＋2017(a2－2)＝2017，(a2016－2)5＋2016(a2016－2)3＋2017(a2016－2)＝－2017，则下列四个命题中真命题的序号为()①S2016＝4032；②S2017＝403...
