第31讲数列求和[解密考纲]考查数列的通项公式、数列求和的方法，主要考查公式法、裂项相消法和错位相减法求前n项和，以及利用Sn与an的关系求通项公式，三种题型均有考查，位于各类题型的中间靠后位置．一、选择题1．数列{an}的前n项和为Sn，若an＝，则S6＝(D)A．B．C．D．解析因为an＝＝－，所以S6＝1－＋－＋…＋－＝1－＝.2．已知Sn＝＋＋＋…＋，若Sm＝10，则m＝(C)A．11B．99C．120D．121解析因为＝＝－，所以Sm＝－＋－＋…＋－＝－1.由已知得－1＝10，所以m＝120，故选C．3．在数列{an}中，已知a1＝1，an＋1－an＝sin，记Sn为数列{an}的前n项和，则S2018＝(D)A．1006B．1007C．1008D．1010解析由题意，得an＋1＝an＋sin，所以a2＝a1＋sinπ＝1，a3＝a2＋sin＝0，a4＝a3＋sin2π＝0，a5＝a4＋sin＝1，…，因此，数列{an}是一个以4为周期的周期数列，而2018＝4×504＋2，所以S2018＝504×(a1＋a2＋a3＋a4)＋a1＋a2＝1010，故选D．4．已知等差数列{an}的前n项和为Sn，a5＝5，S5＝15，则数列的前100项和为(A)A．B．C．D．解析设等差数列{an}的首项为a1，公差为d. a5＝5，S5＝15，∴∴∴an＝a1＋(n－1)d＝n.∴＝＝－，∴数列的前100项和为1－＋－＋…＋－＝1－＝.5．数列{an}的通项公式an＝ncos，其前n项和为Sn，则S2018＝(B)A．2017B．－1010C．504D．0解析因为an＝ncos，所以当n为奇数时，an＝0，当n为偶数时，an＝其中m∈N*，所以S2018＝a1＋a2＋a3＋a4＋a5＋…＋a2016＋a2017＋a2018＝a2＋a4＋a6＋a8＋…＋a2016＋a2018＝－2＋4－6＋8－10＋12－14＋…＋2016－2018＝(－2＋4)＋(－6＋8)＋(－10＋12)＋…＋(－2014＋2016)－2018＝2×504－2018＝－1010，故选B．6．已知数列{an}满足a1＝1，an＋1·an＝2n(n∈N*)，Sn是数列{an}的前n项和，则S2018＝(B)A．22018－1B．3×21009－3C．3×21009－1D．3×22018－2解析依题意得an·an＋1＝2n，an＋1·an＋2＝2n＋1，于是有1＝2，即＝2，数列a1，a3，a5，…，a2n－1，…是以a1＝1为首项、2为公比的等比数列；数列a2，a4，a6，…，a2n，…是以a2＝2为首项、2为公比的等比数列，于是有S2018＝(a1＋a3＋a5＋…＋a2017)＋(a2＋a4＋a6＋…＋a2018)＝＋＝3×21009－3.二、填空题7．在数列{an}中，an＝＋＋…＋，又bn＝，则数列{bn}的前n项和为____.解析 an＝＝，∴bn＝＝8.∴b1＋b2＋…＋bn＝8＝.8．(2018·河南郑州模拟)设数列{an}的通项公式为an＝2n－10(n∈N*)，则|a1|＋|a2|＋…＋|a15|＝__130__.解析由an＝2n－10(n∈N*)知{an}是以－8为首项，2为公差的等差数列，又由an＝2n－10≥0得n≥5，所以当n<5时，an<0；当n≥5时，an≥0，所以|a1|＋|a2|＋…＋|a15|＝－(a1＋a2＋a3＋a4)＋(a5＋a6＋…＋a15)＝20＋110＝130.9．若数列{an}是正项数列，且＋＋…＋＝n2＋3n(n∈N*)，则＋＋…＋＝__2n2＋6n__.解析令n＝1，得＝4，∴a1＝16.当n≥2时，＋＋…＋＝(n－1)2＋3(n－1)．与已知式相减，得＝(n2＋3n)－(n－1)2－3(n－1)＝2n＋2.∴an＝4(n＋1)2，当n＝1时，a1适合an.∴an＝4(n＋1)2，∴＝4n＋4，∴＋＋…＋＝＝2n2＋6n.三、解答题10．在数列{an}中，a1＝3，an＝2an－1＋(n－2)(n≥2，n∈N*)．(1)求a2，a3的值；(2)证明：数列{an＋n}是等比数列，并求{an}的通项公式；(3)求数列{an}的前n项和Sn.解析(1)令n＝2得a2＝2a1＝6.令n＝3，得a3＝2a2＋1＝13.(2)证明：因为an＋n＝2[an－1＋(n－1)]，a1＋1＝4≠0，所以an＋n≠0，所以＝2，所以数列{an＋n}是首项为4，公比为2的等比数列，所以an＋n＝4·2n－1＝2n＋1，所以an＝2n＋1－n.(3)因为an＝2n＋1－n，所以Sn＝(22＋23＋…＋2n＋1)－(1＋2＋…＋n)＝－＝2n＋2－.11．(2018·安徽淮南模拟)在公差为d的等差数列{an}中，已知a1＝10，且a1,2a2＋2,5a3成等比数列．(1)求d，an；(2)若d<0，求|a1|＋|a2|＋|a3|＋…＋|an|.解析(1)由题意得5a3·a1＝(2a2＋2)2，所以d2－3d－4＝0，解得d＝－1或d＝4，所以an＝－n＋11或an＝4n＋6.(2)设数列{an}的前n项和为Sn.因为d<0，所以d＝－1，an＝－n＋11.当n≤11时，|a1|＋|a2|＋|a3|＋…＋|an|＝Sn＝－n2＋n；2当n≥12时，|a1|＋|a2|＋…＋|a11|＋|a12|＋…＋|an|＝...
