考点31数学归纳法解答题1.(2014·广东高考理科)(14分)设数列{an}的前n项和为Sn,满足Sn=2nan+1-3n2-4n,n∈N*,且S3=15.(1)求a1,a2,a3的值.(2)求数列{an}的通项公式.【解题提示】(1)取n=1,n=2,n=3,结合S3=15列方程组求a1,a2,a3.(2)利用an=Sn-Sn-1(n≥2),先猜出an,再用数学归纳法给出证明.【解析】(1)由已知得解得a1=3,a2=5,a3=7.(2)猜测an=2n+1.由Sn=2nan+1-3n2-4n得Sn-1=2(n-1)an-3(n-1)2-4(n-1)(n≥2),当n≥2时,an=Sn-Sn-1,所以两式相减,整理得an=2nan+1-2(n-1)an-6n-1,an+1=an+,建立an与an+1的递推关系(n∈N*);因为当n=1时,a1=3,假设ak=2k+1成立,那么n=k+1时,ak+1=ak+=(2k+1)+=2k+3=2(k+1)+1,对于n∈N*,有an=2n+1,数列{an}的通项公式为an=2n+1.【技巧点拨】本题的设计有“数学归纳法”的暗示,第(2)问用数学归纳法较为简便,且容易想到.若直接变形转化为等差(比)数列求解,则比较困难,可变形为(2n+1)[an+1-2(n+1)+1]=(2n+2)[an+2-2(n+2)+1],又a1-(2×1+1)=0an-(2n+1)=0,即an=2n+1.2.（2014·安徽高考理科·Ｔ21）设实数，整数，.（1）证明：当且时，；（2）数列满足，，证明：【解题提示】用数学归纳法证明不等式。【解析】（1）用数学归纳法证明①当p=2时，，原不等式成立。②假设时，不等式成立，当p=k+1时，=，所以p=k+1时，原不等式成立。综上可得，当且时，对一切整数p>1,不等式均成立。（2）设，并且，由此可得上单调递增，因而，当时，。①当n=1时，由，即可知=，并且，从而。故当n=1时，不等式成立。②假设时，不等式成立，则当n=k+1时，成立，即，所以n=k+1时，原不等式也成立。综合①②可得，对一切正整数n，，不等式均成立。
