阶段通关训练(二)(60分钟100分)一、选择题(每小题5分,共30分)1.(2016·沈阳高一检测)在△ABC中,=c,=b.若点D满足=2,则=()A.b+cB.c-bC.b-cD.b+c【解析】选A.因为由-=2(-),所以3=+2=c+2b,所以=c+b.2.(2016·北京高一检测)在四边形ABCD中,=a+2b,=-4a-b,=-5a-3b,其中a,b不共线,则四边形ABCD为()A.平行四边形B.矩形C.梯形D.菱形【解析】选C.因为=++=-8a-2b=2,所以四边形ABCD为梯形.3.(2016·大连高一检测)若向量a=(2,0),b=(1,1),则下列结论正确的是()A.a·b=1B.|a|=|b|C.(a-b)⊥bD.a∥b【解析】选C.a·b=2,所以A不正确;|a|=2,|b|=,则|a|≠|b|,所以B不正确;a-b=(1,-1),(a-b)·b=(1,-1)·(1,1)=0,所以(a-b)⊥b,所以C正确;由于2×1-0×1≠0,所以a,b不平行,所以D不正确.4.(2016·杭州高一检测)设向量a与b满足|a|=2,b在a方向上的投影为1,若存在实数λ,使得a与a-λb垂直,则λ=()A.B.1C.2D.3【解题指南】先根据b在a方向上的投影求出a·b,再根据a·(a-λb)=0求λ的值.【解析】选C.由题意知=1,则a·b=2.由a⊥(a-λb)得a·(a-λb)=0,即a2-λa·b=0,即4-2λ=0,解得λ=2.5.在菱形ABCD中,若AC=2,则·等于()A.2B.-2C.||cosAD.与菱形的边长有关【解析】选B.如图,设对角线AC与BD交于点O,所以=+.·=·(+)=-2+0=-2.6.设0≤θ≤2π,已知两个向量=(cosθ,sinθ),=(2+sinθ,2-cosθ),则向量长度的最大值是()A.B.C.3D.2【解析】选C.因为=-=(2+sinθ-cosθ,2-cosθ-sinθ),所以||==≤3.二、填空题(每小题5分,共20分)7.如图,在平行四边形ABCD中,=a,=b,=3,则=(用a,b表示).【解析】因为四边形ABCD是平行四边形,所以=+=a+b,因为=3,所以==(a+b),所以=-=(a+b)-a=-a+b.答案:-a+b8.已知a与b均为单位向量,其夹角为θ,有下列说法:①|a+b|>1θ∈⇔;②|a+b|>1θ∈⇔;③|a-b|>1θ∈⇔;④|a-b|>1θ∈⇔.其中正确的说法是(填序号).【解析】若|a+b|>1则(a+b)2>1,即a2+2a·b+b2>1,|a|2+2|a||b|cosθ+|b|2>1.因为|a|=|b|=1,所以12+2×1×1×cosθ+12>1,所以cosθ>-.又θ∈[0,π],所以θ∈,①正确,②错误;若|a-b|>1,则(a-b)2>1,即a2-2a·b+b2>1.所以12-2×1×1×cosθ+12>1,所以cosθ<.又θ∈[0,π],所以θ∈,故③错误,④正确.答案:①④9.已知向量a=(1,2),b=(1,0),c=(3,4).若λ为实数,(a+λb)∥c,则λ的值为.【解析】a+λb=(1,2)+λ(1,0)=(1+λ,2),因为(a+λb)∥c,所以4(1+λ)-3×2=0,解得λ=.答案:10.(2016·东城区高一检测)如图,正三角形ABC边长为2,设=2,=3,则·=.【解析】因为=+=+,=-=-,所以·=·=·+·-·-=×2×2×+×2×2×+×2×2×-22=-2.答案:-2三、解答题(共4小题,共50分)11.(12分)如图,在△OAB中,=,=,AD与BC交于点M,设=a,=b.(1)用a,b表示.(2)在已知线段AC上取一点E,在线段BD上取一点F,使EF过M点,设=p,=q,求证:+=1.【解析】(1)设=ma+nb,则=(m-1)a+nb,=-a+b.因为点A,M,D共线,所以与共线,所以(m-1)-(-1)×n=0,所以m+2n=1.①而=-=a+nb,=-a+b.因为C,M,B共线,所以与共线,所以-n-=0.所以4m+n=1.②联立①②可得m=,n=,所以=a+b.(2)=a+b,=-pa+qb,因为与共线,所以q-×(-p)=0.所以q-pq=-p,即+=1.12.(12分)已知向量a=(-3,2),b=(2,1),c=(3,-1),t∈R.(1)求|a+tb|的最小值及相应的t值.(2)若a-tb与c共线,求实数t.【解析】(1)因为a=(-3,2),b=(2,1),c=(3,-1),所以a+tb=(-3,2)+t(2,1)=(-3+2t,2+t).所以|a+tb|===≥=,当且仅当t=时取等号,即|a+tb|的最小值为,此时t=.(2)因为a-tb=(-3,2)-t(2,1)=(-3-2t,2-t),又a-tb与c共线,c=(3,-1),所以(-3-2t)×(-1)-(2-t)×3=0.解得t=.13.(12分)已知a=(1,2),b=(-3,2).(1)若ka-2b与2a-4b垂直,求实数k的值.(2)若ka-2b与2a-4b的夹角为锐角,求实数k的取值范围.【解析】因为a=(1,2),b=(-3,2),所以ka-2b=k(1,2)-2(-3,2)=(k+6,2k-4),2a-4b=2(1,2)-4(-3,2)=(14,-4).(1)若ka-2b与2a-4b垂直,则14(k+6)-4(2k-4)=0,解得k=-.(2)设ka-2b与2a-4b的夹角为θ,若θ为锐角,则cosθ>0,且θ≠0°,由cosθ>0得,(ka-2b)·(2a-4b)>0,所以14(k+6)-4(2k-4)>0,解得k>-.若ka-2b与2a-4b共线,则(-4)×(k+6)-14(2k-4)=0,解得k=1,此时ka-2b与2a-4b同向.综上知,k>-且k≠1.【误区警示】解答本题第(2)问,易误认为θ为锐角等价于cosθ>0,忽视夹角为0°时也有cosθ>0,从而导致求出的取值范围是k>-.14.(14分)如图,平行四边形ABCD中,=a,=b,点H,M分别是AD,DC的中点,点F使BF=BC.(1)以a,b为基底表示向量与.(2)若|a|=3,|b|=4,a与b的夹角为120°,求·.【解析】(1)连接AF,由已知得=+=a+b.因为=+=a+b,所以=+=-b+=a-b.(2)由已知得a·b=|a||b|cos120°=3×4×=-6,从而·==|a|2+a·b-|b|2=×32+×(-6)-×42=-.【能力挑战题】在△ABC中,·=0,||=12,||=15,l为线段BC的垂直平分线,l与BC交于点D,E为l上异于D的任意一点.(1)求·的值.(2)判断·的值是否为一个常数,并说明理由.【解析】(1)因为·=0,所以AB⊥AC.又||=12,||=15,所以||=9.由已知可得=(+),=-,所以·=(+)·(-)=(-)=(144-81)=.(2)·的值为一个常数.理由:因为l为线段BC的垂直平分线,l与BC交于点D,E为l上异于D的任意一点,所以·=0.故·=(+)·=·+·=·=.
