第4节数列求和及数列的综合应用[A级基础巩固]1．数列1，3，5，7，…，(2n－1)＋，…的前n项和Sn的值等于()A．n2＋1－B．2n2－n＋1－C．n2＋1－D．n2－n＋1－解析：该数列的通项公式为an＝(2n－1)＋，则Sn＝[1＋3＋5＋…＋(2n－1)]＋(＋＋…＋)＝n2＋1－.答案：A2．数列{an}的通项公式是an＝，前n项和为9，则n等于()A．9B．99C．10D．100解析：因为an＝＝－，所以Sn＝a1＋a2＋…＋an＝(－)＋(－)＋…＋(－)＋(－)＝－1，令－1＝9，得n＝99.答案：B3．中国古代数学著作《算法统宗》中有这样一个问题：“三百七十八里关，初行健步不为难，次日脚痛减一半，六朝才得到其关，要见次日行里数，请公仔细算相还．”其意思为：有一个人走378里路，第一天健步行走，从第二天起脚痛每天走的路程为前一天的一半，走了6天后到达目的地，请问第二天走了()A．192里B．96里C．48里D．24里解析：由题意，知每天所走路程形成以a1为首项，公比为的等比数列，则＝378，解得a1＝192，则a2＝96，即第二天走了96里．答案：B4．(2020·宁德模拟)等差数列{an}中，a4＝9，a7＝15，则数列{(－1)nan}的前20项和等于()A．－10B．－20C．10D．20解析：设等差数列{an}的公差为d，由a4＝9，a7＝15，得a1＋3d＝9，a1＋6d＝15，解得a1＝3，d＝2，则an＝3＋2(n－1)＝2n＋1，数列{(－1)nan}的前20项和为－3＋5－7＋9－11＋13＋…－39＋41＝2＋2＋…＋2＝2×10＝20.答案：D5．(2019·广州模拟)数列{an}满足a2＝2，an＋2＋(－1)n＋1·an＝1＋(－1)n(n∈N*)，Sn为数列{an}的前n项和，则S100＝()A．5100B．2550C．2500D．2450解析：由an＋2＋(－1)n＋1an＝1＋(－1)n(n∈N*)，可得a1＋a3＝a3＋a5＝a5＋a7＝…＝0，a4－a2＝a6－a4＝a8－a6＝…＝2，由此可知，数列{an}的奇数项相邻两项的和为0，偶数项是首项为a2＝2、公差为2的等差数列，所以S100＝50×0＋50×2＋×2＝2550.答案：B6．(2020·佛山一中检测)已知数列{nan}的前n项和为Sn，且an＝2n，则Sn＝________．解析：Sn＝1×21＋2×22＋3×23＋…＋n·2n，①则2Sn＝1×22＋2×23＋…＋(n－1)·2n＋n·2n＋1.②1由①－②得－Sn＝2＋22＋23＋…＋2n－n·2n＋1＝－n·2n＋1，故Sn＝2＋(n－1)·2n＋1.答案：2＋(n－1)·2n＋17．设数列{an}的前n项和为Sn，且an＝sin，n∈N*，则S2019＝________．解析：an＝sin，n∈N*，显然每连续四项的和为0.S2019＝S4×504＋a2017＋a2018＋a2019＝0＋1＋0＋(－1)＝0.答案：08．(2020·郴州质检)已知数列{an}和{bn}满足a1a2a3…an＝2(n∈N*)，若数列{an}为等比数列，且a1＝2，a4＝16，则{bn}的通项公式bn＝________，数列的前n项和Sn＝________．解析：因为{an}为等比数列，且a1＝2，a4＝16，所以公比q＝＝＝2，所以an＝2n，所以a1a2a3…an＝21×22×23×…×2n＝21＋2＋3＋…＋n＝2.因为a1a2a3…an＝2，所以bn＝，所以＝＝2，所以的前n项和Sn＝b1＋b2＋b3＋…＋bn＝2＝2＝.答案：9．已知{an}是等差数列，{bn}是等比数列，且b2＝3，b3＝9，a1＝b1，a14＝b4.(1)求{an}的通项公式；(2)设cn＝an＋bn，求数列{cn}的前n项和．解：(1)设等比数列{bn}的公比为q，则q＝＝＝3，所以b1＝＝1，b4＝b3q＝27，所以bn＝3n－1(n＝1，2，3，…)．设等差数列{an}的公差为d.因为a1＝b1＝1，a14＝b4＝27，所以1＋13d＝27，即d＝2.所以an＝2n－1(n＝1，2，3，…)．(2)由(1)知an＝2n－1，bn＝3n－1.因此cn＝an＋bn＝2n－1＋3n－1.从而数列{cn}的前n项和Sn＝1＋3＋…＋(2n－1)＋1＋3＋…＋3n－1＝＋＝n2＋.10．设数列{an}的前n项和为Sn，a1＝2，an＋1＝2＋Sn(n∈N*)．(1)求数列{an}的通项公式；(2)设bn＝1＋log2(an)2，求证：数列的前n项和Tn<.(1)解：因为an＋1＝2＋Sn(n∈N*)，所以an＝2＋Sn－1(n≥2)．所以an＋1－an＝Sn－Sn－1＝an，所以an＋1＝2an(n≥2)，又因为a2＝2＋a1＝4，a1＝2，所以a2＝2a1，所以数列{an}是以2为首项，2为公比的等比数列，2则an＝2·2n－1＝2n(n∈N*)．(2)证明：因为bn＝1＋log2(an)2，则bn＝2n＋1.则＝，所以Tn＝(－＋－＋…＋－)＝<.[B级能力提升]11．(2020·郑州一模)已知数列{an}满足2an＋1＋an＝3(n∈N*)，且a3＝，其前n项之和为Sn，...
