高考数学一轮复习 第五章 数列 课时达标31 数列求和 理-人教版高三全册数学试题VIP专享VIP免费

2018年高考数学一轮复习第五章数列课时达标31数列求和理[解密考纲]考查数列的通项公式、数列求和的方法，主要考查公式法、裂项相消法和错位相减法求前n项和，以及利用Sn与an的关系求通项公式，三种题型均有考查，位于各类题型的中间靠后位置．一、选择题1．数列{an}的前n项和为Sn，若an＝，则S6＝(D)A．B．C．D．解析：因为an＝＝－，所以S6＝1－＋－＋…＋－＝1－＝.2．已知Sn＝＋＋＋…＋，若Sm＝10，则m＝(B)A．11B．99C．120D．121解析：因为＝＝－，所以Sm＝－＋－＋…＋－＝－1.由已知得－1＝10，所以m＝120，故选C．3．在数列{an}中，已知a1＝1，an＋1－an＝sin，记Sn为数列{an}的前n项和，则S2017＝(D)A．1006B．1007C．1008D．1009解析：由题意，得an＋1＝an＋sin，所以a2＝a1＋sinπ＝1，a3＝a2＋sin＝0，a4＝a3＋sin2π＝0，a5＝a4＋sin＝1，…，因此，数列{an}是一个以4为周期的周期数列，而2017＝4×504＋1，所以S2017＝504×(a1＋a2＋a3＋a4)＋a2017＝1008＋a1＝1009，故选D．4．已知等差数列{an}的前n项和为Sn，a5＝5，S5＝15，则数列的前100项和为(A)A．B．C．D．解析：设等差数列{an}的首项为a1，公差为d.∵a5＝5，S5＝15，∴∴∴an＝a1＋(n－1)d＝n.∴＝＝－，∴数列的前100项和为1－＋－＋…＋－＝1－＝.5．数列{an}的通项公式an＝ncos，其前n项和为Sn，则S2017＝(B)A．2017B．1008C．504D．0解析：因为an＝ncos，所以当n为奇数时，an＝0，当n为偶数时，an＝其中m∈N*，所以S2017＝a1＋a2＋a3＋a4＋a5＋…＋a2016＋a2017＝a2＋a4＋a6＋a8＋…＋a2016＝－2＋4－6＋8－10＋12－14＋…＋2016＝(－2＋4)＋(－6＋8)＋(－10＋12)＋…＋(－2014＋2016)＝2×504＝1008，故选B．6．已知数列{an}满足a1＝1，an＋1·an＝2n(n∈N*)，Sn是数列{an}的前n项和，则S2018＝(B)A．22018－1B．3×21009－3C．3×21009－1D．3×22018－2解析：依题意得an·an＋1＝2n，an＋1·an＋2＝2n＋1，于是有＝2，即＝2，数列a1，a3，a5，…，a2n－1，…是以a1＝1为首项、2为公比的等比数列；数列a2，a4，a6，…，a2n，…是以a2＝2为首项、2为公比的等比数列，于是有S2018＝(a1＋a3＋a5＋…＋a2017)＋(a2＋a4＋a6＋…＋a2018)＝＋＝3×21009－3，故选B．1二、填空题7．在数列{an}中，an＝＋＋…＋，又bn＝，则数列{bn}的前n项和为.解析：∵an＝＝，∴bn＝＝8.∴b1＋b2＋…＋bn＝8＝.8．(2017·河南郑州模拟)设数列{an}的通项公式为an＝2n－10(n∈N*)，则|a1|＋|a2|＋…＋|a15|＝130.解析：由an＝2n－10(n∈N*)知{an}是以－8为首项，2为公差的等差数列，又由an＝2n－10≥0得n≥5，所以当n<5时，an<0，当n≥5时，an≥0，所以|a1|＋|a2|＋…＋|a15|＝－(a1＋a2＋a3＋a4)＋(a5＋a6＋…＋a15)＝20＋110＝130.9．若数列{an}是正项数列，且＋＋…＋＝n2＋3n(n∈N*)，则＋＋…＋＝2n2＋6n.解析：令n＝1，得＝4，∴a1＝16.当n≥2时，＋＋…＋＝(n－1)2＋3(n－1)．与已知式相减，得＝(n2＋3n)－(n－1)2－3(n－1)＝2n＋2.∴an＝4(n＋1)2，当n＝1时，a1适合an.∴an＝4(n＋1)2，∴＝4n＋4，∴＋＋…＋＝＝2n2＋6n.三、解答题10．在数列{an}中，a1＝3，an＝2an－1＋(n－2)(n≥2，n∈N*)．(1)求a2，a3的值；(2)证明：数列{an＋n}是等比数列，并求{an}的通项公式；(3)求数列{an}的前n项和Sn.解析：(1)令n＝2得a2＝2a1＝6.令n＝3，得a3＝2a2＋1＝13.(2)证明：因为＝＝2，所以数列{an＋n}是首项为4，公比为2的等比数列，所以an＋n＝4·2n－1＝2n＋1，所以an＝2n＋1－n.(3)因为数列{an}的通项公式an＝2n＋1－n，所以Sn＝(22＋23＋…＋2n＋1)－(1＋2＋…＋n)＝－＝2n＋2－.11．(2015·浙江卷)已知数列{an}和{bn}满足a1＝2，b1＝1，an＋1＝2an(n∈N*)，b1＋b2＋b3＋…＋bn＝bn＋1－1(n∈N*)．(1)求an与bn；(2)记数列{anbn}的前n项和为Tn，求Tn.解析：(1)由a1＝2，an＋1＝2an，得an＝2n(n∈N*)．由题意知，当n＝1时，b1＝b2－1，故b2＝2.当n≥2时，bn＝bn＋1－bn，整理得＝，所以bn＝n(n∈N*)．(2)由(1)知anbn＝n·2n，因此，Tn＝2＋2×22＋3×23＋…＋n·2n，2Tn＝22＋2×23＋3×24＋…＋n·2n＋1，所以Tn－2Tn＝2＋22＋23＋…＋2n－n·2n＋1.故Tn＝(n－1)2n＋1＋2(n∈N*)．12．已知数列{an}是公差不为零的等差数列，其前n项和为Sn，且S5＝30，又a1，a3，a9成等比数列．2(1)求Sn；(2)若任意n>t，n∈N*，都有＋＋…＋>，求t的最小值．解析：(1)设公差为d，由条件得解得a1＝d＝2.∴an＝2n，Sn＝n2＋n.(2)∵＝＝＝＝－，∴＋＋…＋＝＋＋…＋＝－>.∴<－＝，即n＋2>50，n>48.∴t的最小值为48.3