第四节数列求和【最新考纲】1.掌握等差、等比数列的前n项和公式.2.掌握特殊的非等差、等比数列的几种常见的求和方法．1．公式法直接利用等差数列、等比数列的前n项和公式求和(1)等差数列的前n项和公式：Sn＝＝na1＋d；(2)等比数列的前n项和公式：Sn＝2．倒序相加法如果一个数列{an}的前n项中首末两端等“距离”的两项的和相等或等于同一个常数，那么求这个数列的前n项和即可用倒序相加法．3．错位相减法如果一个数列的各项是由一个等差数列和一个等比数列的对应项之积构成的，这个数列的前n项和可用错位相减法．4．裂项相消法(1)把数列的通项拆成两项之差，在求和时中间的一些项可以相互抵消，从而求得其和．(2)裂项时常用的三种变形：①＝－；②＝；③＝－.5．分组求和法一个数列的通项公式是由若干个等差数列或等比数列或可求和的数列组成，则可用分组求和法求和．6．并项求和法一个数列的前n项和中，可两两结合求解，则称之为并项求和．形如an＝(－1)nf(n)类型，可采用两项合并求解．例如，Sn＝1002－992＋982－972＋…＋22－12＝(100＋99)＋(98＋97)＋…＋(2＋1)＝5050.1．(质疑夯基)判断下列结论的正误．(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)如果数列{an}为等比数列，且公比不等于1，则其前n项和Sn＝.()(2)当n≥2时，＝.()(3)求Sn＝a＋2a2＋3a3＋…＋nan之和时只要把上式等号两边同时乘以a即可根据错位相减法求得．()(4)如果数列{an}是周期为k(k为大于1的正整数)的周期数列，那么Skm＝mSk.()答案：(1)√(2)√(3)×(4)√2．数列{an}的前n项和为Sn，若an＝，则S6等于()A.B.C.D.解析：因为an＝＝－，所以S6＝1－＋－＋…＋－＝1－＝.答案：D3．若数列{an}的通项公式为an＝2n＋2n－1，则数列{an}的前n项和Sn为()A．2n＋n2－1B．2n＋1＋n2－1C．2n＋1＋n2－2D．2n＋n2－2解析：Sn＝(2＋22＋23＋…＋2n)＋(1＋3＋5＋…＋(2n－1))＝＋＝2n＋1－2＋n2.答案：C4．(2016·“江南十校”联考)若数列{an}为等比数列，且a1＝1，q＝2，则Tn＝＋＋…＋的结果可化为()A．1－B．1－C.D.解析：an＝2n－1，设bn＝＝，则Tn＝b1＋b2＋…＋bn＝＋＋…＋＝＝答案：C5．3·2－1＋4·2－2＋5·2－3＋…＋(n＋2)·2－n＝________．解析：设S＝3×＋4×＋5×＋…＋(n＋2)×，则S＝3×＋4×＋5×＋…＋(n＋2)×.两式相减得S＝3×＋(＋＋…＋)－.∴S＝3＋(＋＋…＋)－＝3＋－＝4－.答案：4－●两种思路解决非等差、等比数列的求和，主要有两种思路1．转化的思想，即将一般数列设法转化为等差或等比数列，这一思想方法往往通过通项分解或错位相减来完成．2．不能转化为等差或等比数列的数列，往往通过裂项相消法、倒序相加法等来求和．●两点注意利用裂项相消法求和的注意事项1．抵消后并不一定只剩下第一项和最后一项，也有可能前面剩两项，后面也剩两项；2．将通项裂项后，有时需要调整前面的系数，使裂开的两项之差和系数之积与原通项相等．如：若{an}是等差数列，则＝，＝.]一、选择题1．数列{1＋2n－1}的前n项和为()A．1＋2nB．2＋2nC．n＋2n－1D．n＋2＋2n解析：由题意得an＝1＋2n－1，所以Sn＝n＋＝n＋2n－1.答案：C2．已知{an}是等比数列，a2＝2，a5＝，则a1a2＋a2a3＋…＋anan＋1＝()A．16(1－4－n)B．16(1－2－n)C.(1－4－n)D.(1－2－n)解析：因为q3＝＝，所以q＝，a1＝4，从而数列{anan＋1}是以8为首项，为公比的等比数列，其前n项和Tn＝＝(1－4－n)．答案：C3．(2016·太原一模)已知数列{an}的通项公式为an＝(－1)n·(2n－1)·cos＋1(n∈N*)，其前n项和为Sn，则S60＝()A．－30B．－60C．90D．120解析：由题意可得，当n＝4k－3(k∈N*)时，an＝a4k－3＝1；当n＝4k－2(k∈N*)时，an＝a4k－2＝6－8k；当n＝4k－1(k∈N*)时，an＝a4k－1＝1；当n＝4k(k∈N*)时，an＝a4k＝8k.∴a4k－3＋a4k－2＋a4k－1＋a4k＝8，∴S60＝8×15＝120.答案：D4．已知函数f(x)＝xa的图象过点(4，2)，令an＝，n∈N*.记数列{an}的前n项和为Sn，则S2013＝()A.－1B.－1C.－1D.＋1解析：由f(4)＝2得4a＝2，解得a＝，则f(x)＝x.∴an＝＝＝－，S2013＝a1＋a2＋a3＋…＋a2013＝(－)＋(－)＋(－)＋…＋(－)＝－1.答案：C5．已知等比数...
