函数与方程考点梳理1．函数的零点(1)定义：对于函数y＝f(x)，我们把使___________的实数x叫做函数y＝f(x)的零点．函数y＝f(x)的零点就是方程f(x)＝0的________，也是函数y＝f(x)的图象与x轴的____________．(2)函数有零点的几个等价关系：方程f(x)＝0有实数根⇔函数y＝f(x)的图象与x轴___________⇔函数y＝f(x)___________．由此可知，求方程f(x)＝0的实数根，就是确定函数y＝f(x)的________．一般地，对于不能用公式求根的方程f(x)＝0来说，我们可以将它与____________联系起来，利用函数的性质找出零点，从而求出方程的根．2．函数的零点存在性定理如果函数y＝f(x)在区间[a，b]上的图象是连续不断的一条曲线，并且有___________，那么，函数y＝f(x)在区间___________内有零点，即存在c∈___________，使得___________，这个c也就是方程f(x)＝0的根．3．二次函数的零点分布(即一元二次方程根的分布，见2.4节“考点梳理”5)自查自纠1．(1)f(x)＝0实数根交点的横坐标(2)有交点有零点零点函数y＝f(x)2．f(a)·f(b)＜0(a，b)(a，b)f(c)＝0基础自测下列函数中，不能用二分法求零点近似值的是()A．f(x)＝x5－3x＋1B．g(x)＝2x3－8x－1C．h(x)＝|2x－9x|D．φ(x)＝－lnx解：h(x)非负．故选C.(2015·安徽)下列函数中，既是偶函数又存在零点的是()A．y＝cosxB．y＝sinxC．y＝lnxD．y＝x2＋1解：y＝cosx是偶函数且有无数多个零点，y＝sinx为奇函数，y＝lnx既不是奇函数也不是偶函数，y＝x2＋1是偶函数但没有零点．故选A.已知函数f(x)＝－log2x.在下列区间中，包含f(x)零点的区间是()A．(0，1)B．(1，2)C．(2，4)D．(4，＋∞)解：f(x)在(0，＋∞)为减函数，又f(1)＝6＞0，f(2)＝2＞0，f(4)＝－2＝－＜0.故选C.函数f(x)＝x＋lnx－3在(2，3)内的零点个数是________．解：f(x)单调递增，又f(2)f(3)＜0，故f(x)在(2，3)内仅一个零点．故填1.方程lnx＝8－2x的实数根x∈(k，k＋1)，k∈Z，则k＝________.解：构造函数f(x)＝lnx＋2x－8，所以f′(x)＝＋2＞0(x＞0)，则f(x)在(0，＋∞)上单调递增，又f(1)＝－6＜0，f(2)＝ln2－4＜0，f(3)＝ln3－2＜0，f(4)＝ln4＞0，所以f(x)的唯一零点在(3，4)内，因此k＝3.故填3.类型一判断函数零点所在区间(2017·浙江温州十校联考)设f(x)＝lnx＋x－2，则函数f(x)的零点所在的区间为()A．(0，1)B．(1，2)C．(2，3)D．(3，4)解法一：函数f(x)的零点所在的区间可转化为函数g(x)＝lnx，h(x)＝－x＋2图象交点的横坐标所在的取值范围．作图如右图，可知f(x)的零点所在的区间为(1，2)．解法二：易知f(x)＝lnx＋x－2在(0，＋∞)上为增函数，且f(1)＝1－2＝－1<0，f(2)＝ln2>0.所以根据函数零点存在性定理可知在区间(1，2)内函数存在零点．故选B.【点拨】确定函数f(x)的零点所在区间的常用方法：(1)利用函数零点的存在性定理：首先看函数y＝f(x)在区间[a，b]上的图象是否连续，再看是否有f(a)·f(b)<0.若有，则函数y＝f(x)在区间(a，b)内必有零点．(2)数形结合法：通过画函数图象，观察图象在给定区间上是否有交点来判断．在下列区间中，函数f(x)＝ex＋4x－3的零点所在的区间为()A.B.C.D.解：因为f(x)＝ex＋4x－3，所以f′(x)＝ex＋4>0.所以f(x)在其定义域上是单调递增函数．因为f＝e－4<0，f(0)＝－2<0，f＝e－2<0，f＝e－1>0，所以f·f<0，所以f(x)的零点所在区间为.故选C.类型二零点个数的判断(2015·湖北)f(x)＝2sinxsin－x2的零点个数为________．解：f(x)＝2sinxcosx－x2＝sin2x－x2，则函数的零点即为函数y＝sin2x与函数y＝x2图象的交点，如图所示，两图象有2个交点，则函数有2个零点．故填2.【点拨】函数零点个数的判断方法：(1)直接求零点，令f(x)＝0，有几个解就有几个零点；(2)零点存在性定理，要求函数在区间[a，b]上是连续不断的曲线，且f(a)·f(b)<0，应注意：①满足条件的零点可能不惟一；②不满足条件时，也可能有零点，因此一般要再结合函数的图象与性质确定函数零点个数；(3)利用图象交点个数，作出两函数图象，观察其交点个数即得零点个数．(2016·南昌二模)已知函数y＝f(x)是周期为2的周期函数，且当x∈[－1，1]时，f(x)＝2|x|－1，则函数F(x)＝f(x)－|...
